$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : polynômes et fractions rationnelles

Pour réviser
Enoncé
Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a\in\mathbb K$ et soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynômes à coefficients dans $\mathbb Z$, avec $a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$ avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$ admet-il des racines dans $\mathbb Q$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb C[X]$. On note, pour $p<n$, $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Démontrer que $u_0,\dots,u_{n-1}$ forme une progression arithmétique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants : $$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - pgcd dans deux corps différents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb K\subset\mathbb L$ deux corps. On considère $P,Q\in\mathbb K[X]$.
  1. Démontrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb K[X]$ si et seulement s'ils sont premiers entre eux dans $\mathbb L[X]$.
  2. Plus généralement, démontrer que le pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynômes de $\mathbb K[X]$ est égal au pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynôme de $\mathbb L[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante : $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1,\dots,x_n$ non-nulles.
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle \frac1{XP(X)}$.
  2. En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k P'(x_k)}=\frac{-1}{P(0)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Enveloppe convexe des zéros [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb C_n[X]$ admettant $n$ racines simples $\alpha_1,\dots,\alpha_n$. Soient $A_1,\dots,A_n$ les points du plan complexe d'affixe respectives $\alpha_1,\dots,\alpha_n$.
  1. Décomposer la fraction rationnelle $P'/P$ en éléments simples.
  2. Soit $\beta$ une racine de $P'$, et soit $B$ son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que $$\sum_{j=1}^n \frac{1}{\beta-\alpha_j}=0.$$
  3. En déduire que $B$ est un barycentre de la famille de points $(A_1,\dots,A_n)$, avec des coefficients positifs. Interpréter géométriquement cette propriété.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 9 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $$\mathcal S=\{P\in \mathbb R[X];\ \exists P_1,P_2\in \mathbb R[X];\ P=P_1^2+P_2^2\}.$$
  1. Montrer que $\mathcal S$ est stable par produit. On pourra considérer l'application $\phi:\mathbb C[X]\to\mathbb R[X]$, $P\mapsto P\bar P$.
  2. Soit $P\in\mathbb R[X]$ tel que $P(x)\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb R$. Montrer qu'il existe $A,B\in\mathbb R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ est réciproque s'il s'écrit $P=a_nX^n+\dots+a_0$ avec $a_k=a_{n-k}$ pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$.
  1. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si $P(X)=X^n P\left(\frac 1X\right)$.
  2. Montrer qu'un produit de polynômes réciproques est réciproque.
  3. On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q|P$. Démontrer que $\frac PQ$ est réciproque.
  4. Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme réciproque.
    1. Démontrer que si $\alpha$ est une racine de $P$, alors $\alpha\neq 0$ et $\alpha^{-1}$ est une racine de $P$.
    2. Démontrer que si $1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
    3. Démontrer que si le degré de $P$ est impair, alors $-1$ est racine de $P$.
    4. Démontrer que si $P$ est de degré pair et si $-1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
  5. Démontrer que tout polynôme réciproque de $\mathbb C[X]$ de degré $2n$ se factorise en $$P=a_{2n}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Irréductibilité par réduction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier. Pour tout polynôme $P\in\mathbb Z[X]$, on note $\bar P$ son image (par réduction modulo $p$ de ses coefficients) dans $(\mathbb Z/p \mathbb Z)[X]$.
  1. Soit $P\in\mathbb Z[X]$ unitaire. Montrer que si $\bar P$ est irréductible dans $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$, alors $P$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Critère d'irréductibilité d'Eisenstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Si $P\in\mathbb Z[X]$, on appelle contenu de $P$, et on note $c(P)$, le pgcd des coefficients de $P$.
  1. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise tous les coefficients de $PQ$. Montrer que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous les coefficients de $Q$.
  2. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $R(X)=\frac{PQ}{c(P)c(Q)}\in\mathbb Z[X]$. Démontrer que $c(R)=1$. En déduire que l'on a $c(PQ)=c(P)c(Q)$.
  3. Soit $Q$ un polynôme de $\mathbb Z[X]$. On suppose que $Q$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Démontrer qu'il existe deux polynômes $A$ et $B$ de $\mathbb Z[X]$ tels que $Q=AB$, avec $\deg(A)<\deg(Q)$ et $\deg(B)<\deg(Q)$.
  4. Soit $A(X)=a_n X^{n}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $$p|a_k,\textrm{ pour tout }0\leq k\leq n-1,\ p\not\mid a_n,\ p^2\not\mid a_0.$$ Démontrer que $A$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$.
  5. Démontrer qu'il existe dans $\mathbb Q[X]$ des polynômes irréductibles de tout degré $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Polynômes et fonctions polynomiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb K$ un corps commutatif. On note $\mathcal F(\mathbb K)$ l'ensemble des fonctions polynomiales de $\mathbb K$ dans lui-même. Pour tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$, on note $\tilde P$ la fonction polynomiale associée.
  1. On suppose $\mathbb K$ infini. Vérifier que le morphisme de $\mathbb K$-algèbres $P\in\mathbb K[X]\mapsto \tilde P\in\mathcal F(K)$ est injectif. Que peut-on en déduire sur $\mathbb K[X]$ et $\mathcal F(\mathbb K)$?
  2. Combien y-a-t-il d'éléments dans $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]$ et dans $\mathcal F(\mathbb Z/2\mathbb Z)$?
  3. On suppose désormais jusqu'à la fin de l'exercice que $\mathbb K$ est de cardinal fini $q$. Soit $P\in\mathbb K[X]$ et $R$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $\prod_{a\in \mathbb K}(X-a)$. Démontrer que l'on a $\tilde P=\tilde R$.
  4. Démontrer que $\mathcal F(\mathbb K)$ et $\mathbb K_{q-1}[X]$ sont isomorphes.
Indication
Corrigé