$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : intégration

Pour réviser
Enoncé
Le théorème suivant est un des classiques de l'écrit du capes :
Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et positive. Alors $$\int_a^b f(t)dt=0\implies f=0.$$
  1. Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
  2. Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
  3. Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
  4. Application 2 : On considère $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Un équivalent de $\ln(n!)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
    1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
    2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
  1. Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
  2. En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence d'intégrales impropres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \ln tdt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}x\sin xe^{-x}dx&&\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\ln te^{-t}dt\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \int_0^1 \frac{dt}{(1-t)\sqrt t} \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Intégrales de Bertrand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de $$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}.$$
  1. On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
  2. On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge.
  3. On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Équivalent de la queue de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
  2. Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
  3. En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Théorème de convergence dominée - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \left(\int_0^{\pi/4}(\tan t)^n dt\right)&\quad\quad&\mathbf 2. \displaystyle\left(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n}\right)\\ \mathbf 3. \displaystyle\left(\int_0^1 f(t^n)dt\right),\ f:[0,1]\to\mathbb R\textrm{ continue}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \left(\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^n+e^x}\right)&\quad\quad&\mathbf{2.}\ \left(\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt[n]{1+x^n}}\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
    1. Démontrer que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1 x^{2n}(1-x)dx=\int_0^1\frac{dx}{1+x}.$$
    2. En déduire que $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln 2.$$
  1. En calculant de deux façons $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\int_0^1 x^{2n}(1-x)dx$, déterminer la valeur de la somme $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Calcul d'une intégrale impropre par dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}te^{-t}dt.$$
  1. Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb R$.
  2. Justifier que $F$ est $\mathcal C^1$ et donner une expression de $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
  3. Calculer $F'(x)$.
  4. En déduire une expression simplifiée de $F(x)$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $I=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $I$.
  3. En utilisant la décroissance sur $I$ de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Lemme de Riemann-Lebesgue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose $$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$ Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge.
  1. Soit $F$ une primitive de $t\mapsto f(t)e^{-s_0t}$ sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
  2. En déduire que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
  3. Sur le même modèle, démontrer que si $g:[1,+\infty[\to\mathbb R$ est une fonction continue telle que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ converge, alors $\int_1^{+\infty}\frac{g(t)}tdt$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Sans le théorème d'intégration terme à terme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
  1. Pour $t\in ]0,1[$, écrire $\frac{t^{a-1}}{1+t^b}$ comme somme d'une série $\sum_{n\geq 0}u_n(t)$.
  2. Déterminer la nature de la série $\sum_{n\geq 0}\int_0^1 |u_n(t)|dt$. Que peut-on en déduire?
  3. On pose $S_N(t)=\sum_{n=0}^N u_n(t)$. Démontrer que $$\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt=\lim_{N\to+\infty}\int_0^1 S_N(t)dt.$$
  4. En déduire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nb}=\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt$$ puis la valeur de $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{3n+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Calcul de l'intégrale de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt.$$
  1. Montrer que $F$ est définie et continue sur $[0,+\infty[$ et déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  2. Montrer que $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et démontrer que $$F'(x)=-\frac{e^{-x}}{\sqrt x}\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du.$$
  3. En intégrant $F'$ sur $]0,+\infty[$, montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt \pi}2.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on définit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$.
  1. Quel est le domaine de définition de $\Gamma$?
    1. Pour $k\geq 1$ et $0<A<B<+\infty$, on pose $$g_k(t)=\left\{\begin{array}{ll} t^{A-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }0<t<1\\ t^{B-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }t\geq 1. \end{array}\right. $$ Démontrer que $g_k$ est intégrable sur $]0,+\infty[$.
    2. En déduire que $\Gamma$ est $C^\infty$ sur son domaine de définition, et calculer $\Gamma^{(k)}$.
  2. Montrer que pour tout $x>0$, $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En déduire $\Gamma(n+1)$ pour $n$ un entier et un équivalent de $\Gamma$ en $0$.
  3. Montrer que $\Gamma$ est convexe.
    1. Justifier que, pour tout $u<-1$, $\ln(1-u)\leq -u$.
    2. Pour $x>0$, on pose $$f_n(t):=\left\{ \begin{array}{ll} t^{x-1}(1-t/n)^n&\textrm{ si }t\in]0,n[\\ 0&\textrm{ si }t\geq n. \end{array}\right.$$ Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt=\Gamma(x).$
  4. En déduire que pour $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}n^x\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du.$$
  5. En utilisant des intégrations par parties successives, conclure que, pour tout $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\dots(x+n)}.$$
Indication
Corrigé