$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Agrégation interne : fonctions d'une variable réelle

Pour réviser
Exercice 1 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que, $$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  3. Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
  4. Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Corrigé
Enoncé
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
  1. L'image par une fonction continue d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
  2. L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé.
  3. L'image par une fonction continue d'une partie bornée est une partie bornée.
  4. L'image réciproque par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Que dire d'une fonction $f:I\to\mathbb R$, où $I$ est un intervalle, continue, et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Avec une limite en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$. On suppose que $f(0)=0$ et que $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$. Montrer qu'il existe $m>0$ tel que $f(x)\geq mx$ pour tout $x\in [0,1]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\leq 0\\ e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0. \end{array} \right.$$
  1. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
  2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a)^n (x-b)^n$ ($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 8 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{si }x=0\\ \sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.} \end{array} \right.$$ Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0, mais qu'elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire que pour tous $a<b$ de $\mathbb R$ et tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on peut trouver $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\lambda$).
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Avec une limite à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Polynômes de Legendre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.
  1. Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
  2. Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux zéros d'ordre $n-p$, et $p$ zéros d'ordre 1.
  3. En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
  1. Pourquoi n'est-ce pas trivial?
  2. Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
  3. En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
  4. Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
  5. En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
  6. Soit $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ sur $[0,1]$, $0$ en $0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
  2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(x,y,p,q)\in\mtr_+^*$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
  1. Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
  2. On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
  3. En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
  4. On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
  5. On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé