$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : équations différentielles

Pour réviser
Exercice 1 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
  2. $y'+2y=x^2-2x+3$;
  3. $y'+y=xe^{-x}$;
  4. $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle notée $(E)$ : $$(t^2+t)x''+(t-1)x'-x=0.$$
  1. Déterminer les solutions polynômiales de $(E)$.
  2. En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $]1,+\infty[$.
  3. Reprendre le même exercice avec $$x^2y''-3xy'+4y=x^3$$ dont on déterminera les solutions sur $]0,+\infty[$. On cherchera d'abord les solutions polynômiales de l'équation homogène!
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Raccordement de solutions - dimensions possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
$a$ et $b$ étant deux fonctions continues sur $\mathbb R$, on considère $(E)$ l'équation différentielle $$x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0.$$ On note $S^+$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ et $S^-$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $J=]-\infty,0[$, et on note $S$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$ tout entier. L'objectif de l'exercice est d'étudier les valeurs possibles pour la dimension de $S$.
  1. Rappeler la dimension de $S^+$ et de $S^-$.
  2. On note $\varphi$ l'application linéaire de $S$ vers $S^+\times S^-$ définie par $\varphi(f)=(f_{|I},f_{|J})$. Donner le noyau de $\varphi$. En déduire que $\dim S\leq 4$.
  3. Dans cette question, on suppose que $a(x)=x$ et que $b(x)=0$, d'où $(E)$ est l'équation $x^2y''+xy'=0$. Déterminer $S^+$ et $S^-$. En déduire ensuite $S$ et sa dimension.
  4. Dans cette question, $(E)$ est l'équation $x^2y''-6xy'+12y=0$. Déterminer deux solutions sur $I$ de la forme $x\mapsto x^\alpha$ ($\alpha$ réel). En déduire $S^+$ puis $S^-$. En déduire $S$ et sa dimension.
  5. En s'inspirant de la question précédente, donner un exemple d'équation différentielle du type $x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0$ tel que $\dim S=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
  1. Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
    On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
  2. Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
  3. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
  4. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
  5. Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
  6. Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Transformée de Fourier de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $a>0$, $F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}e^{-at^2}dt$.
  1. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F'(x)=\frac{-x}{2a}F(x).$$
  2. En déduire que pour tout $x$ réel, $F(x)=F(0)e^{-x^2/4a}$, puis que $$F(x)=\sqrt\frac\pi ae^{-x^2/4a}.$$
On rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du=\pi$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Sur les zéros des solutions d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On dit qu'un réel $a$ est un \emph{zéro isolé} de $f$ si $f(a)=0$ et s'il n'existe pas de suite $(a_n)$ de zéros distincts de $f$ telle que $(a_n)$ converge vers $a$.
  1. Donner un exemple de fonction continue dont 0 est un zéro non-isolé.
  2. On suppose que $f$ est dérivable, et que $a$ est un zéro de $f$ non-isolé. Prouver que $f'(a)=0$.
  3. On suppose toujours que $f$ est dérivable et que les zéros de $f$ sont isolés. Soient $a$ et $b$ deux zéros consécutifs de $f$. Démontrer que $f'(a)$ et $f'(b)$ ont des signes opposés.
    Dans la suite de l'exercice, on fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues, et on considère l'équation différentielle $(E)$ : $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
  4. Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. En utilisant 2., prouver que les zéros de $f$ sont isolés.
  5. Soient $f$ et $g$ deux solutions de $(E)$ et $t_0,C\in\mathbb R$ tels que $g(t_0)=Cf(t_0)$ et $g'(t_0)=Cf'(t_0)$. Prouver que $g=Cf$.
  6. On suppose désormais que $(f,g)$ est une base de solutions de $(E)$. On appelle \emph{wronskien} de $f$ et $g$ la fonction $W$ définie sur $\mathbb R$ par $$W(t)=\left|\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{array}\right|.$$ Déduire de la question précédente que $W$ ne s'annule jamais.
  7. Former une équation différentielle du premier ordre vérifiée par $W$ et en déduire l'expression de $W(t)$ en fonction de $W(t_0)$.
  8. Soient $a,b$ deux zéros consécutifs de $f$. Que vaut $W(a)$, $W(b)$? En utilisant les questions précédentes, en déduire que $g$ s'annule sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. A quelle(s) condition(s) l'équation différentielle $y'=a(x)y+b(x)$ admet-elle des solutions 1-périodiques. Les déterminer.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $$\left( \begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 1&-1&-1\\ -1&2&2 \end{array} \right).$$
  1. Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
  2. En déduire la valeur de $\exp(tA)$.
  3. Résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&2x_1(t)+x_3(t)\\ x_2'(t)&=&x_1(t)-x_2(t)-x_3(t)\\ x_3'(t)&=&-x_1(t)+2x_2(t)+2x_3(t) \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ une fonction continue, localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. On appelle
  • \emph{barrière inférieure} une fonction $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\alpha'(t)< f(t,\alpha(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.
  • \emph{barrière supérieure} une fonction $\beta:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\beta'(t)> f(t,\beta(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.
Si $\alpha<\beta$, on appelle \emph{entonnoir} l'ensemble $\{(t,x);\ \alpha(t)\leq x\leq \beta(t)\}$.
  1. Soit $(]a,b[,u)$ une solution de l'équation différentielle $x'=f(t,x)$ vérifiant $u(t_0)=x_0$ où le point $(t_0,x_0)$ est dans l'entonnoir. Montrer que pour tout $t\in[t_0,b[$, le point $(t,u(t))$ est dans l'entonnoir.
  2. En déduire que si $(]a,b[,u)$ est une solution maximale, alors $b=+\infty$.
  3. On considère l'équation différentielle $x'=x^2-t$, et $u$ la solution maximale vérifiant $u(4)=-2$. Montrer que $u$ est définie au moins sur $[4,+\infty[$ et qu'elle est équivalente à la fonction $t\mapsto -\sqrt t$ au voisinage de $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle $x'(t)=x(t)\sin^2(x(t))$.
  1. Quelles sont les fonctions constantes solution de cette équation?
  2. Soit $x$ une solution maximale vérifiant $x(0)=x_0$. Montrer que $x$ est bornée, monotone.
  3. Démontrer que $x$ est définie sur $\mathbb R$ tout entier,
  4. Montrer que $x$ admet des limites en $\pm\infty$. Les déterminer.
Indication
Corrigé