$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : espaces métriques, espaces vectoriels normés

Pour réviser
Enoncé
Sur $E=\mathbb R[X]$, on définit $N_1$ et $N_2$ par $$N_1( P)=\sum_{k=0}^{+\infty}|P^{(k)}(0)|\textrm{ et }N_2( P)=\sup_{t\in [-1,1]}|P(t)|.$$
  1. Démontrer que $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E$.
  2. Étudier pour chacune des deux normes la convergence de la suite $(P_n)$ définie par $P_n=\frac 1nX^n$.
  3. Les deux normes sont-elles équivalentes?
Corrigé
Exercice 2 - Somme d'un ensemble et d'un ouvert ou d'un fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit : $$A+B=\left\{z\in E;\ \exists x\in A,\ \exists y\in B,\ z=x+y\right\}.$$
  1. Démontrer que si $A$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert.
  2. Démontrer que les parties $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=1\}$ et $B=\{0\}\times \mathbb R$ sont fermées.
  3. Démontrer que $A+B$ n'est pas fermée.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Sous-espace vectoriel ouvert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On suppose que $F$ est ouvert. Démontrer que $F=E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer l'intérieur et l'adhérence des parties de $\mathbb R^2$ suivantes : \begin{eqnarray*} A&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\right\}\\ B&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2; \ xy=1\right\}\\ C&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy>1\right\}\\ D&=&\left\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2\le 2\right\} \setminus \left\{(x,y)\in \mtr^2 \mid (x-1)^2+y^2<1\right\}. \end{eqnarray*}
Corrigé
Enoncé
Déterminer si l'application linéaire $T:(E,N_1)\to (F,N_2)$ est continue dans les cas suivants :
  1. $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_1)\to (E,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
  2. $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  3. $E=\mathbb R_n[X]$ muni de $\|\sum_{k=0}^n a_k X^k\|=\sum_{k=0}^n |a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  4. $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}k!|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  5. $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_2=\left(\int_0^1 |f(t)|^2dt\right)^{1/2}$, $F=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_2)\to (F,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f\in E$, on pose $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt,$$ dont on admettra qu'il s'agit d'une norme sur $E$. Soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$\phi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
  1. Justifier la terminologie : "$\phi$ est un endomorphisme de $E$."
  2. Démontrer que $\phi$ est continue.
  3. Pour $n\geq 0$, on considère $f_n$ l'élément de $E$ défini par $f_n(x)=ne^{-nx}$, $x\in[0,1]$. Calculer $\|f_n\|_1$ et $\|\phi(f_n)\|_1$.
  4. On pose $\|\!|\phi\|\!|=\sup_{f\neq 0_E}\frac{\|\phi(f)\|_1}{\|f\|_1}$. Déterminer $\|\!|\phi\|\!|$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(x,y,p,q)\in\mtr_+^*$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
  1. Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
  2. On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
  3. En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
  4. On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
  5. On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Opérations ensemblistes, intérieur et adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$.
  1. On suppose $A\subset B$. Démontrer que $\mathring A\subset\mathring B$ et que $\bar A\subset\bar B$.
  2. Démontrer que $(A\cap B)^\circ=\mathring A\cap\mathring B$ et que $\mathring A\cup\mathring B\subset ( A\cup B)^\circ$, mais que l'inclusion peut être stricte.
  3. Comparer $\overline{A\cap B}$ et $\bar A\cap \bar B$, puis $\overline{A\cup B}$ et $\bar A\cup \bar B$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|\leq \|x\|$. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$v_n=\frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n u^k.$$
  1. Simplifer $v_n\circ(u-Id)$.
  2. Montrer que $\ker(u-Id)\cap\textrm{Im}(u-Id)=\{0\}$.
  3. On suppose désormais que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $$\ker(u-Id)\oplus\textrm{Im}(u-Id)=E.$$
  4. Soit $p$ la projection sur $\ker(u-Id)$ parallèlement à $\textrm{Im}(u-Id)$. Démontrer que, pour tout $x\in E$, $v_n(x)\to p(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Sous-groupes de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ non réduit à $\{0\}$.
  1. Justifier l'existence de $m=\inf\{x\in H;\ x>0\}$.
  2. On suppose que $m>0$. Démontrer que $m\in H$ puis que $H=m\mathbb Z$.
  3. On suppose que $m=0$. Démontrer que $H$ est dense dans $\mathbb Z$.
  4. En déduire que, si $a$ et $b$ sont deux réels non nuls, $a\mathbb Z+b\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si $\frac ab\notin\mathbb Q$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Espace vectoriel des fonctions lipschitiziennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie bornée d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$. On note $\mathcal L$ l'espace vectoriel des applications lipschitziennes de $A$ dans $E$.
  1. Démontrer que les éléments de $\mathcal L$ sont des fonctions bornées.
  2. Pour $f\in\mathcal L$, on pose $$K_f=\{k\in\mathbb R_+;\ \forall (x,y)\in A^2,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|\}.$$ Démontrer que $K_f$ admet une borne inférieure. Dans la suite, on notera $C_f$ cette borne inférieure.
  3. Justifier que $C_f\in K_f$.
  4. Démontrer que si $f,g\in\mathcal L$, alors $C_{f+g}\leq C_f+C_g$.
  5. Pour $a\in A$, on note $N_a(f)=\|f(a)\|+C_f$. Démontrer que $N_a$ est une norme sur $\mathcal L$.
  6. Soient $a\neq b\in A$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f,g\in E$, on pose $N_g(f)=\|gf\|_\infty$.
  1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N_g$ soit une norme.
  2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N_g$ soit équivalente à la norme infinie.
Indication
Corrigé