$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : espaces compacts, espaces complets, espaces connexes, espaces vectoriels normés de dimension finie

Pour réviser
Enoncé
Soit $\mathcal C=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_1+\dots+x_n=1,\ x_1\geq0,\dots,x_n\geq 0\}$. Soit également $f:\mathcal C\to\mathbb R^+$ une fonction continue telle que $f(x)>0$ pour tout $x\in\mathcal C$. Démontrer que $\inf_{x\in\mathcal C}f(x)>0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, $f:A\to\mathbb R$. On suppose que $f$ est localement bornée : pour tout $x\in A$, il existe $r>0$ et $M>0$ tels que, pour tout $y\in B(x,r)\cap A$, $|f(y)|\leq M$. Démontrer que $f$ est bornée sur $A$ tout entier.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Valeur propre d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, et $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, c'est-à-dire que $u$ vérifie $$\forall x,y\in E,\ \pss{u(x)}{y}=\pss{x}{u(y)}.$$ On note $\mathcal S$ la sphère unité de $E$ et $\phi:\mathcal S\to \mathbb R$ l'application définie par $\phi(x)=\pss{u(x)}{x}.$
  1. Justifier que $\phi$ atteint son maximum sur $\mathcal S$. On désignera par $x_0$ un point où ce maximum est atteint.
  2. Soit $y$ un vecteur unitaire orthogonal à $x_0$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $$x(t)=(\cos t)x_0+(\sin t)y\textrm{ et }f(t)=\pss{u(x(t))}{x(t)}.$$ Démontrer que $f$ admet un maximum en $0$.
  3. En déduire que $y$ est orthogonal à $u(x_0)$.
  4. En déduire que $x_0$ est un vecteur propre de $u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $K,L$ deux parties compactes d'un espace vectoriel normé $E$. On pose $K+L=\{x+y;\ x\in K,\ y\in L\}$. Démontrer que $K+L$ est une partie compacte de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Boule fermée de rayon minimal contenant une partie bornée. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $A$ une partie bornée non-vide de $E$. On souhaite prouver qu'il existe une boule fermée de rayon minimal contenant $A$. Pour cela, on note $D=\{r>0;\ A$ est contenu dans une boule de rayon $r\}$.
  1. Démontrer que $D$ admet une borne inférieure. Cette borne inférieure sera notée $r_0$.
  2. Pour $n\geq 1$, on pose $r_n=r_0+\frac 1n$. Démontrer qu'il existe $x_n\in E$ tel que $A\subset \bar B(x_n,r_n)$.
  3. Démontrer que $(x_n)$ est bornée.
  4. Conclure.
  5. On suppose dans cette question que $E=(\mathbb R^2,\|\cdot\|_\infty)$. Donner un exemple d'ensemble borné $A$ pour lequel il existe plusieurs boules de rayon minimum contenant $A$.
  6. On suppose dans cette question que $E=(\mathbb R^d,\|\cdot\|_2)$. Démontrer qu'il existe une unique boule de rayon minimal contenant $A$. On rappelle l'identité du parallélogramme $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\big(\|x\|^2+\|y\|^2\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Ensemble des matrices inversibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble $GL_n(\mtr)$ des matrices inversibles est un ouvert dense dans $\mcm_n(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n\in\mtn}$ une suite d'éléments de $E$. On suppose que $(x_n)$ est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé $E$.
  1. Démontrer que pour tout $a\in E$, il existe $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|x-a\|$.
  2. On suppose $F\neq E$. Soit $a\in E\backslash F$ et soit $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|a-x\|$ On pose $b=(a-x)/\|a-x\|$. Démontrer que $d(b,F)=1\textrm{ et }\|b\|=1.$
  3. On suppose que $E$ est de dimension infinie. Construire une suite $(b_n)$ de $E$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$\|b_n\|=1\textrm{ et }d(b_{n},\textrm{vect}(b_0,\dots,b_{n-1}))=1.$$
  4. En déduire que la boule unité fermée de $E$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Polynômes caractéristiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux matrices de $M_n(\mathbb C)$.
  1. Montrer que si $A$ est inversible, il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $BA=P^{-1}(AB)P$. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
  2. Soit $t\in\mathbb C$. On suppose que $t$ n'est pas valeur propre de $A$. Montrer que les matrices $(A-tI_n)B$ et $B(A-tI_n)$ ont le même polynôme caractéristique.
  3. On fixe $x\in\mathbb C$. On définit $f:\mathbb C\to\mathbb C$ et $g:\mathbb C\to\mathbb C$ les applications définies par $$f(t)=\det\big((A-tI_n)B-xI_n\big)\textrm{ et }g(t)=\det\big(B(A-tI_n)-xI_n\big).$$ Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues. En déduire $f(0)=g(0)$.
  4. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et soit $f:I\to \mathbb R$ une application dérivable. Notons $A=\{(x,y)\in I\times I;\ x<y\}.$
  1. Démontrer que $A$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb R^2$.
  2. Pour $(x,y) \in A$, posons $g(x,y) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$. Démontrer que $g(A)\subset f'(I)\subset \overline{g(A)}$.
  3. Démontrer que $f'(I)$ est un intervalle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ à valeurs dans $\mtr$. On définit une norme sur $E$ en posant $$\|f\|_1=\int_{-1}^1 |f(t)| \,dt.$$ On va montrer que $E$ muni de cette norme n'est pas complet. Pour cela, on définit une suite $(f_n)_{n\in\mtn^*}$ par \[f_n(t)=\begin{cases} -1 &\text{si } -1\le t \le -\frac1n\\ nt &\text{si } -\frac1n\le t \le \frac1n\\ 1 &\text{si } \frac1n \le t\le 1. \end{cases}\]
  1. Vérifier que $f_n\in E$ pour tout $n\ge 1$.
  2. Montrer que $$\|f_n-f_p\|\le \sup(\frac2n,\frac2p)$$ et en déduire que $(f_n)$ est de Cauchy.
  3. Supposons qu'il existe une fonction $f\in E$ telle que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(E,\|\cdot\|_1)$. Montrer qu'alors on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)-f(t)|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-f(t)|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$.
  4. Montrer qu'on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)+1|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-1|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$. En déduire que \begin{align*} &f(t)=-1\qquad &\forall t\in[-1,0[\\ &f(t)=1\qquad &\forall t\in ]0,1]. \end{align*} Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $\ell^1$ l'espace vectoriel des suites $x=(x(k))_{k\in\mtn}$ réelles vérifiant : $$\|x\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|x(k)|<+\infty.$$ On admettra que l'on définit ainsi une norme sur $\ell^1$. On cherche à prouver que $\ell^1$ est un espace de Banach. Soit donc $(x_n)_{n\in\mtn}$ une suite de Cauchy d'éléments de $\ell^1$. Etant donné $\veps>0$, il existe donc $N(\veps)\in\mtn$ tel que, si $n,l\geq N(\veps)$, alors : $$\|x_n-x_l\|\leq\veps.$$
  1. Montrer qu'on a alors, pour tout $k\in\mtn$, et pour tous $n,l\geq N(\veps)$ $$\left|x_n(k)-x_l(k)\right|\leq\veps.$$
  2. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}x_n(k)$ existe pour tout $k\in\mtn$.
  3. Montrer qu'il existe $K\in\mtn$ tel que $$\sum_{k\geq K}|x_{N(\veps)}(k)|\leq \veps.$$
  4. Montrer que pour tout $L\geq K$, on a : $$\sum_{K\leq k\leq L}|x(k)|\leq2\veps.$$
  5. En déduire que l'on a $x\in\ell^1$, et que : $$\lim_{n\to+\infty}\|x_n-x\|=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Résolution de système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb R^2$ muni de la norme $$\|(x,y)\|_1=|x|+|y|.$$ On définit l'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ par : $$f(x,y)=\left(\frac14\sin(x+y),1+\frac23\arctan(x-y)\right).$$
  1. Démontrer qu'il existe une constante $k\in]0,1[$ telle que, quels que soient $(x,y),(x',y')\in\mathbb R^2$, on a $$\|f(x,y)-f(x',y')\|_1\leq k \|(x,y)-(x',y')\|_1.$$
  2. En déduire que le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac14\sin(x+y)&=&x\\ 1+\frac23\arctan(x-y)&=&y\\ \end{array} \right.$$ admet une unique solution dans $\mathbb R^2$.
  3. Aurait-on pu appliquer la même méthode en utilisant la norme $\|.\|_\infty$ au lieu de la norme $\|.\|_1$?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Connexité de l'ensemble des valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On dit qu'une suite $u=(u_n)$ de $E$ est à évolution lente si $$\lim_{n\to+\infty}\|u_{n+1}-u_n\|=0.$$ Pour une suite $u$ de $E$, on note $V(u)$ l'ensemble de ses valeurs d'adhérence, dont on rappelle que c'est un fermé de $E$. Le but de l'exercice est de démontrer que si une suite $u$ est bornée et à évolution lente, alors l'ensemble $V(u)$ est connexe. On effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $V(u)$ n'est pas connexe.
  1. Démontrer qu'il existe deux compacts $K_1$ et $K_2$ vérifiant $$\left\{ \begin{array}{rcl} K_1\cap K_2&=&\varnothing\\ K_1\cup K_2&=&V(u). \end{array}\right.$$
  2. Démontrer que la distance entre $K_1$ et $K_2$ est strictement positive. Elle sera notée $a$.
  3. On note $\Omega_1=\{x\in E;\ d(x,K_1)<a\}$ et $\Omega_2=\{x\in E;\ d(x,K_2)<a\}$. On considère $M$ un majorant de la suite $\|u\|=(\|u_n\|)_n$. Démontrer que $$K=\overline{B(0,M)}\backslash (\Omega_1\cup\Omega_2)$$ est un compact.
  4. Démontrer qu'il existe une suite extraite de $u$ à valeurs dans $K$ et conclure.
(d'après un problème d'agrégation interne)
Indication
Corrigé