$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : calcul différentiel

Pour réviser
Enoncé
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en $(0,0)$?
  1. $f(x,y)=(x+y)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$
  2. $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
  3. $f(x,y)=\frac{|x+y|}{x^2+y^2}$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\alpha,\beta>0$. Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, si la fonction $$f(x,y)=\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2+y^2}$$ admet une limite en $(0,0)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$.
  1. $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  2. $\displaystyle f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mtr^2\to\mtr$ une application de classe $C^1$.
  1. On définit, pour $(x,y)\in\mtr^2$ fixé, $g:\mtr\to\mtr,$ $t\mapsto g(t)=f(tx,ty).$ Montrer que $g$ est dérivable sur $\mtr$, et calculer sa dérivée.
  2. On suppose désormais que $f(tx,ty)=tf(x,y)$ pour tous $x,y,t\in\mtr$.
    1. Montrer que pour tous $x,y,t\in\mtr$, on a $$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)x+\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)y.$$
    2. En déduire qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ que l'on déterminera tels que, pour tous $(x,y)\in\mtr^2$, on a $$f(x,y)=\alpha x+\beta y.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche toutes les fonctions $g:\mtr^2\to \mtr$ vérifiant : $$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}=a,$$ où $a$ est un réel.
  1. On pose $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par : $$f(u,v)=g\left(\frac{u+v}{2},\frac{v-u}{2}\right).$$ En utilisant le théorème de composition, montrer que $\dis\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{a}{2}.$
  2. Intégrer cette équation pour en déduire l'expression de $f$.
  3. En déduire les solutions de l'équation initiale.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ de classe $C^2$ est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.$$ Dans toute la suite, on fixe $f$ une fonction harmonique.
  1. On suppose que $f$ est de classe $C^3$.Démontrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ sont harmoniques.
  2. On suppose désormais que $f$ est radiale, c'est-à-dire qu'il existe $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(x,y)=\varphi(x^2+y^2)$. Démontrer que $\varphi'$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  3. En déduire toutes les fonctions harmoniques radiales.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Différentielle de la fonction carré d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par $f(M)=M^2$. Justifer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et déterminer la différentielle de $f$ en tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Extrema locaux et globaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les extrema locaux et globaux des fonctions suivantes :
  1. $f(x,y)=2x^3+6xy-3y^2+2$;
  2. $f(x,y)=y\big(x^2+(\ln y)^2\big)$ sur $\mathbb R\times ]0,+\infty[$;
  3. $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$;
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 9 - Différentielle de la fonction inverse d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi:GL_n(\mathbb R)\to GL_n(\mathbb R), M\mapsto M^{-1}$.
  1. Démontrer que $\phi$ est différentiable en $I_n$ et calculer sa différentielle en ce point.
  2. Même question en $M\in GL_n(\mathbb R)$ quelconque.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.
  1. Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
  2. Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
  3. Déterminer les points critiques de $f$.
  4. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
  5. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Le théorème de Rolle en plusieurs variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ différentiable. On note $S$ la sphère unité de $\mathbb R^n$ et $B$ la boule unité ouverte. On suppose que $f$ est constante sur $S$. Démontrer l'existence de $x_0\in B$ tel que $df_{x_0}=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Difféomorphisme -Somme et produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'application $\phi:(u,v)\mapsto (u+v,uv)$ est un $C^1$-difféomorphisme de $U=\{(u,v)\in\mathbb R^2;\ u>v\}$ vers un ouvert que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Développement limité et fonctions implicites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Vérifier que la relation $e^{xy}+y^2-xy-3y+2x=-1$ définit $y$ comme fonction de $x$ sur un voisinage de $(0,1)$. Montrer que cette fonction admet un développement limité à tout ordre au voinage de $x=0$. Calculer ce développement limité à l'ordre 2.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ une application de classe $C^1$ telle qu'il existe $k>0$ vérifiant, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^n$, $$\|f(x)-f(y)\|\geq k\|x-y\|.$$
  1. Démontrer que $f(\mathbb R^n)$ est un fermé de $\mathbb R^n$.
  2. Démontrer que $df_x$ est inversible en tout point $x\in\mathbb R^n$.
  3. En déduire que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé