$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Suites numériques

Le corps des nombres réels
Théorème : Il existe un ensemble $\mathbb R$ contenant $\mathbb Q$ muni d'une addition, d'une multiplication et d'une relation d'ordre tel que $(\mathbb R,+,\cdot,\le)$ soit un corps totalement ordonné archimédien satisfaisant à la propriété de la borne supérieure. De plus, la fonction $d(x,y)=\vert x-y\vert=\max(x-y,y-x)$ munit $\mathbb R$ d'une distance et donc d'une topologie.
Limites de suite
  • On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ (ou tend vers le réel $\ell$) si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ |u_n-\ell|\leq\veps.$$ Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb R$, ce réel est unique et s'appelle la limite de $(u_n)$. On note alors $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.$$
  • Une suite qui ne converge pas s'appelle suite divergente.
  • Proposition : toute suite convergente est bornée.
  • On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ lorsque : $$\forall M\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\geq M.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
  • On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ lorsque : $$\forall m\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\leq m.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.
  • Théorème d'encadrement : Si $(u_n),\ (v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n\leq w_n$$ et $(u_n),\ (w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(v_n)$ est convergente de limite $\ell$.
  • Théorème de divergence par minoration : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n$$ et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
Opérations sur les limites
  • Multiplication par une constante :
    $\lim_{n\to+\infty} u_n$ $\ell$ $+\infty$ $-\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda>0$ $\lambda \ell$ $+\infty$ $-\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda<0$ $\lambda \ell$ $-\infty$ $+\infty$
  • Somme :
    $\lim_{n\to+\infty} u_n$ $\ell_1$ $\ell_1$ $\ell_1$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} v_n$ $\ell_2$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} u_n+ v_n$ $\ell_1+\ell_2$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ F.I.
  • Produit :
    Proposition : Si $(u_n)$ est une suite bornée et si $(v_n)$ est une suite tendant vers 0, alors le produit $(u_n\times v_n)$ est une suite tendant vers 0.
    $\lim_{n\to+\infty} u_n$ $\ell_1$ $\ell_1>0$ $\ell_1<0$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
    $\lim_{n\to+\infty} v_n$ $\ell_2$ $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} u_n\times v_n$ $\ell_1\times \ell_2$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ F.I.
  • Quotient :
    $\lim_{n\to+\infty} u_n$ $\ell_1$ $\ell_1>0$ $\ell_1<0$ $+\infty$ $+\infty$ $0$ $\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} v_n$ $\ell_2\neq 0$ $0^+$ $0^+$ $l>0$ $0^+$ $0$ $\infty$
    $\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n}$ $\frac{\ell_1}{\ell_2}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ F.I. F.I.
  • Composition :
    Proposition : Si $\lim_{n\to +\infty}u_n=a$ et si $\lim_{x\to a}f(x)=b$, alors $(f(u_n))$ tend vers $b$.
Limites et ordre
  • Proposition (conservation des inégalités par passage à la limite) : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et si, à partir d'un certain rang, $u_n\leq v_n,$ alors $\ell_1\leq \ell_2$.
  • Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell>0$, alors à partir d'un certain rang, $u_n>0$.
  • Théorème (comportement des suites monotones) : Une suite monotone converge si et seulement si elle est majorée. Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.
  • Deux suites de nombres réels $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $(v_n-u_n)$ tend vers 0.
  • Théorème (convergence des suites adjacentes) : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
  • Théorème des segments emboités : Soit $(I_n)$ une suite de segments de $\mathbb R$, $I_n=[a_n,b_n]$. On suppose que ces segments sont emboités, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a $I_{n+1}\subset I_n$. Alors il existe un réel $x$ appartenant à tous les $I_n$. Si de plus la suite $(b_n-a_n)$ tend vers 0, alors $\bigcap_n I_n=\{x\}$.
Suites extraites
  • Si $(u_n)$ est une suite, on appelle suite extraite de $(u_n)$ (ou sous-suite de $(u_n)$) toute suite de la forme $(u_{\phi(n)})$, où $\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ est strictement croissante.
  • Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge également vers $\ell$.
  • Réciproquement, si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
  • Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite de réels ou de complexes bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
[include=cours/suites/cauchy]
Suites arithmético-géométriques
  Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a u_n+b$ pour tout entier $n$. En général, on demande $a\neq 1$ et $b\neq 0$ pour ne pas avoir une suite arithmétique ou une suite géométrique.

  On cherche alors $\ell$ la solution de l'équation $$\ell=a\ell+b,$$ puis on étudie la suite $(v_n)$ définie par $$v_n=u_n-\ell.$$ On prouve facilement que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On étudie alors $(v_n)$ pour obtenir le comportement de $(u_n)$.
Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
  Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n.$$ On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique $$r^2=ar+b$$ et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction des racines de cette équation caractéristique.
  • Premier cas : l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et $r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n.$$ Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$.
  • Deuxième cas : l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n.$$
  • Troisième cas : l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n\cos(n\alpha)+\mu r^n \sin(n\alpha).$$
Suites récurrentes
  • Si $f:I\to I$ est une fonction définie sur $I$, on appelle suite récurrente associée à $f$ toute suite définie par $u_0\in I$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
  • Avec les notations précédentes, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell)=\ell$.
Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence
  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.
  • On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$
  • On a $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ si et seulement si $u_n-v_n=o(u_n)$.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.
  • Règles de calcul pour les équivalents : Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(x_n)$ et $(w_n)$ quatre suites :
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $u_nx_n\sim v_ny_n$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $\frac{u_n}{x_n}\sim \frac{v_n}{y_n}$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $p\in\mathbb Z$, alors $u_n^p\sim v_n^p$.
    Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
  • Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites :
    • si $u_n=o(w_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $\alpha u_n+\beta v_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(w_n)$, alors $u_nv_n=o(w_nv_n)$.
Développement décimal d'un réel
  • oit $x$ un nombre réel. On appelle développement décimal de $x$ toute écriture de $x-\lfloor x\rfloor$ sous la forme $$x-\lfloor x \rfloor=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$$ où, pour tout $n\geq 1$, $a_n$ est un entier de $\{0,\dots,9\}$. Cette relation s'écrit encore parfois sous la forme : $$x=\lfloor x\rfloor+\overline{0,a_1a_2\dots a_n\dots}.$$
  • Théorème :
    • tout réel $x$ possède un développement décimal. Pour cela, on considère la suite $(x_n)$ des valeurs décimales approchées par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, définie par $$x_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.$$ Alors la suite $(a_n)$ définie par $a_n=10^n (x_n-x_{n-1})$ donne un développement décimal de x.

    • si $x$ n'est pas décimal, alors il admet un unique développement décimal. Si $x$ est un nombre décimal, il admet exactement deux développement décimaux. Le premier, donné par le procédé précédent, est tel que tous les $a_n$ sont nuls à partir d'un certain rang. Ce développement est appelé développement décimal propre de $x$. Le second est obtenu à partir du premier : si $N$ désigne le plus grand entier tel que $a_N\neq 0$, alors en remplaçant $a_N$ par $a_{N}-1$, et en terminant par des 9, on obtient un autre développement décimal de $x$. Ce développement est appelé développement décimal impropre de $x$.
    • un nombre $x$ est rationnel si et seulement si son développement décimal (propre) est périodique (à partir d'un certain rang).