Ressources mathématiques > Documents pour l'agrégation interne >

Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Résumé de cours : Suites numériques

Le corps des nombres réels

Théorème : Il existe un ensemble $\mathbb R$ contenant $\mathbb Q$ muni d'une addition, d'une multiplication et d'une relation d'ordre tel que $(\mathbb R,+,\cdot,\le)$ soit un corps totalement ordonné archimédien satisfaisant à la propriété de la borne supérieure. De plus, la fonction $d(x,y)=\vert x-y\vert=\max(x-y,y-x)$ munit $\mathbb R$ d'une distance et donc d'une topologie.

Notion de limites enseignée dans le supérieur

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ (ou tend vers le réel $\ell$) si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ |u_n-\ell|\leq\veps.$$

Une suite qui ne converge pas s'appelle suite divergente.

Théorème et définition : Si $(u_n)$ converge vers $\ell_1$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell_2$, alors $\ell_1=\ell_2$. Ce réel s'appelle alors la limite de la suite $(u_n)$ et on note $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.$$

Proposition : toute suite convergente est bornée.

On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ lorsque : $$\forall M\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\geq M.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ lorsque : $$\forall m\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\leq m.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.

Théorème d'encadrement (des gendarmes) : Si $(u_n),\ (v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n\leq w_n$$ et $(u_n),\ (w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(v_n)$ est convergente de limite $\ell$.

Théorème de divergence par minoration : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n$$ et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

Opérations sur les limites

Multiplication par une constante :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda>0$	$\lambda \ell$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda<0$	$\lambda \ell$	$-\infty$	$+\infty$

Somme :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1$	$\ell_1$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} u_n+ v_n$	$\ell_1+\ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Produit :

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite bornée et si $(v_n)$ est une suite tendant vers 0, alors le produit $(u_n\times v_n)$ est une suite tendant vers 0.

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1>0$	$\ell_1<0$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} u_n\times v_n$	$\ell_1\times \ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F.I.

Quotient :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1>0$	$\ell_1<0$	$+\infty$	$+\infty$	$0$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2\neq 0$	$0^+$	$0^+$	$l>0$	$0^+$	$0$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n}$	$\frac{\ell_1}{\ell_2}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F.I.	F.I.

Composition :
Proposition : Si $\lim_{n\to +\infty}u_n=a$ et si $\lim_{x\to a}f(x)=b$, alors $(f(u_n))$ tend vers $b$.

Limites et ordre

Proposition (conservation des inégalités par passage à la limite) : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et si, à partir d'un certain rang, $u_n\leq v_n,$ alors $\ell_1\leq \ell_2$.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell>0$, alors à partir d'un certain rang, $u_n>0$.

Théorème de la limite monotone : Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

Deux suites de nombres réels $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante et $(v_n-u_n)$ tend vers 0.

Théorème (convergence des suites adjacentes) : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Théorème des segments emboités : Soit $(I_n)$ une suite de segments de $\mathbb R$, $I_n=[a_n,b_n]$. On suppose que ces segments sont emboités, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a $I_{n+1}\subset I_n$. Alors il existe un réel $x$ appartenant à tous les $I_n$. Si de plus la suite $(b_n-a_n)$ tend vers 0, alors $\bigcap_n I_n=\{x\}$.

Suites extraites

Si $(u_n)$ est une suite, on appelle suite extraite de $(u_n)$ (ou sous-suite de $(u_n)$) toute suite de la forme $(u_{\phi(n)})$, où $\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ est strictement croissante.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge également vers $\ell$.

Réciproquement, si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite de réels ou de complexes bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Suites de Cauchy

On dit qu'une suite $(u_n)$ est une suite de Cauchy si, pour tout $\veps>0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tous $p,q\geq N$, on a $|u_p-u_q|\leq\veps$.
Théorème : Une suite de nombres réels ou de nombres complexes est de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
Autrement dit, $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des espaces métriques complets.

Suites arithmético-géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a u_n+b$ pour tout entier $n$. En général, on demande $a\neq 1$ et $b\neq 0$ pour ne pas avoir une suite arithmétique ou une suite géométrique.

On cherche alors $\ell$ la solution de l'équation $$\ell=a\ell+b,$$ puis on étudie la suite $(v_n)$ définie par $$v_n=u_n-\ell.$$ On prouve facilement que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On étudie alors $(v_n)$ pour obtenir le comportement de $(u_n)$.

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n.$$ On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique $$r^2=ar+b$$ et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction des racines de cette équation caractéristique.

Premier cas : l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et $r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n.$$ Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$.
Deuxième cas : l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n.$$
Troisième cas : l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n\cos(n\alpha)+\mu r^n \sin(n\alpha).$$

Suites arithmétiques, suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n+r$.

Une suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=qu_n$.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors

pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=u_0+nr$;
si, pour $n\in\mathbb N$, on note $S_n=u_0+\dots+u_n$, alors $$S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}2=\textrm{nombre de termes}\times\frac{\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme}}2.$$

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors

pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=q^nu_0$;
si, pour $n\in\mathbb N$, on note $S_n=u_0+\dots+u_n$, et si $q\neq 1$, alors $$S_n=\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}=\frac{\textrm{premier terme}-\textrm{terme qui suit le dernier}}{1-q}.$$

Le comportement d'une suite géométrique est donné par la formule donnant son terme général et le résultat suivant.

Théorème : Soit $q\in\mathbb R$. Alors la suite $(q^n)$

tend vers $+\infty$ si $q>1$.
est constante égale à $1$ si $q=1$.
tend vers $0$ si $q\in ]-1,1[$.
prend successivement les valeurs $+1$ et $-1$ si $q=-1$. En particulier, elle diverge.
prend successivement des valeurs positives et négatives si $q<-1$ avec $(|q|^n)$ qui tend vers $+\infty$. En particulier, $(q^n)$ diverge.

Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$
On a $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ si et seulement si $u_n-v_n=o(u_n)$.
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.
Règles de calcul pour les équivalents : Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(x_n)$ et $(y_n)$ quatre suites :
- si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $u_nx_n\sim v_ny_n$.
- si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $\frac{u_n}{x_n}\sim \frac{v_n}{y_n}$.
- si $u_n\sim v_n$ et $p\in\mathbb Z$, alors $u_n^p\sim v_n^p$.
Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites :
- si $u_n=o(w_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $\alpha u_n+\beta v_n=o(w_n)$.
- si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.
- si $u_n=o(w_n)$, alors $u_nv_n=o(w_nv_n)$.

Développement décimal d'un réel

oit $x$ un nombre réel. On appelle développement décimal de $x$ toute écriture de $x-\lfloor x\rfloor$ sous la forme $$x-\lfloor x \rfloor=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$$ où, pour tout $n\geq 1$, $a_n$ est un entier de $\{0,\dots,9\}$. Cette relation s'écrit encore parfois sous la forme : $$x=\lfloor x\rfloor+\overline{0,a_1a_2\dots a_n\dots}.$$
Théorème :
- tout réel $x$ possède un développement décimal. Pour cela, on considère la suite $(x_n)$ des valeurs décimales approchées par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, définie par $$x_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.$$ Alors la suite $(a_n)$ définie par $a_n=10^n (x_n-x_{n-1})$ donne un développement décimal de x.
- si $x$ n'est pas décimal, alors il admet un unique développement décimal. Si $x$ est un nombre décimal, il admet exactement deux développement décimaux. Le premier, donné par le procédé précédent, est tel que tous les $a_n$ sont nuls à partir d'un certain rang. Ce développement est appelé développement décimal propre de $x$. Le second est obtenu à partir du premier : si $N$ désigne le plus grand entier tel que $a_N\neq 0$, alors en remplaçant $a_N$ par $a_{N}-1$, et en terminant par des 9, on obtient un autre développement décimal de $x$. Ce développement est appelé développement décimal impropre de $x$.
- un nombre $x$ est rationnel si et seulement si son développement décimal (propre) est périodique (à partir d'un certain rang).