$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : polynômes et fractions rationnelles

Dans la suite, $\mathbb K$ désigne un corps (commutatif).
Algèbre des polynômes à une indéterminée
  • On appelle polynôme à coefficients dans $\mathbb K$ une suite finie $(a_0,\dots,a_N)$ d'éléments de $\mathbb K$. On note ce polynôme $\sum_{n\geq 0}a_nX^n$, où $X$ est appelée l'indéterminée. On note $\mathbb K[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$.
  • On définit sur $\mathbb K[X]$ les opérations suivantes : si $P(X)=\sum_{n\geq 0}a_nX^n$, $Q(X)=\sum_{n\geq 0}b_nX^n$ (où les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont nulles à partir d'un certain rang), et $\lambda\in\mathbb C$, on pose $$(P+Q)(X)=\sum_{n\geq 0}(a_n+b_n)X^n$$ $$(PQ)(X)=\sum_{n\geq 0}c_nX^n\textrm{ où }c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$$ $$\lambda P(X)=\sum_{n\geq 0}\lambda a_n X^n.$$ Ces trois opérations font de $\mathbb K[X]$ une algèbre.
  • Soient $A,B\in\mathbb K[X]$, avec $B=\sum_{n=0}^N b_nX^n$. Alors on appelle composé de $A$ par $B$ le polynôme de $\mathbb K[X]$ $$B\circ A=\sum_{n=0}^N b_n A^n.$$
  • Si $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$ n'est pas nul, il existe un plus grand indice $n\in\mathbb N$ tel que $a_n\neq 0$. Cet entier s'appelle le degré de $P$, noté $\deg( P)$. Le coefficient $a_n$ correspondant s'appelle le coefficient dominant de $P$. Par convention, si $P$ est nul, son degré vaut $-\infty$.
  • Pour tous polynômes $P,Q\in\mathbb K[X]$ non nuls, on a \begin{eqnarray*} \deg(P+Q)&\leq&\max\big(\deg( P),\deg(Q)\big)\\ \deg(PQ)&=&\deg( P)+\deg(Q)\\ \deg(P\circ Q)&=&\deg( P)\times\deg(Q). \end{eqnarray*}
  • On note $\mathbb K_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$ de degré inférieur ou égal à $n$.
Arithmétique des polynômes
  • Théorème : Soit $A,B\in\mathbb K[X]$ avec $B$ non nul. Il existe un unique couple $(Q,R)\in\mathbb K[X]$ tel que $A=BQ+R$ et $\deg( R)<\deg(B)$.
  • Soit $A,B\in\mathbb K[X]$ avec $B$ non nul. On dit que $B$ divise $A$ s'il existe $Q\in\mathbb K[X]$ tel que $A=BQ$.
  • Corollaire : L'anneau $\mathbb K[X]$ est principal. Pour tout idéal $I$ de $\mathbb K[X]$, il existe un unique polynôme unitaire $P$ tel que $I$ est l'idéal engendré par $P$ : $$I=(P)=\{AP;\ A\in\mathbb K[X]\}.$$
  • Soient $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non-nuls. Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est appelé pgcd de $A$ et $B$. Tous les pgcd de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le pgcd de $A$ et $B$. Il est noté $A\wedge B$. Comme pour les entiers, le pgcd de deux polynômes peut se calculer à l'aide de divisions euclidiennes successives et de l'algorithme d'Euclide.
  • On dit que $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B=1$.
  • Théorème de Bézout : Soient $A,B\in\mathbb K[X]$ non-nuls. Alors $A\wedge B=1$ si et seulement s'il existe $U,V\in\mathbb K[X]$ tels que $AU+BV=1$.
  • Lemme de Gauss : Soient $A,B,C\in\mathbb K[X]$ non-nuls. On suppose que $A\wedge B=1$. Alors si $A|BC$, on a $A|C$.
  • Soient $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non-nuls. Tout multiple commun à $A$ et $B$ de degré minimal est appelé ppcm de $A$ et $B$. Tous les ppcm de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le ppcm de $A$ et $B$. Il est noté $A\vee B$.
  • Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est dit irréductible s'il n'est pas constant et si les seuls diviseurs de $P$ sont les polynômes constants et les polynômes du type $\lambda P$, $\lambda\in\mathbb K^*$.
  • Tout polynôme de $\mathbb K[X]$ est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires. De plus, cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
  • Ainsi, la décomposition d'un polynôme en produits d'irréductibles est analogue à la décomposition en facteurs premiers d'un entier.
Fonction polynôme, racine
  • Un polynôme $P=\sum_{n=0}^N a_n X^n\in\mathbb K[X]$ définit une fonction polynomiale $\tilde P:\mathbb K\to\mathbb K$ par $\tilde P(z)=\sum_{n=0}^N a_n z^n$. Le plus souvent, on notera simplement $P(z)$ l'élément $\tilde P(z)$ de $\mathbb K$. Cependant, l'identification entre polynôme et fonction polynomiale ne fonctionne totalement que pour un corps infini. Ce n'est pas le cas sur un corps fini. Par exemple, sur $\mathbb Z/2\mathbb Z$, les polynômes $X$ et $X^2$ sont différents, mais les fonctions polynomiales $P(x)=x$ et $Q(x)=x^2$ sont égales, car elles prennent les mêmes valeurs sur les deux éléments de $\mathbb Z/2\mathbb Z$.
  • On dit que $z$ est une racine de $P$ si $P(z)=0$. Ceci est équivalent à dire que $(X-z)$ divise $P$.
  • Si $z_1,\dots,z_p$ sont des racines distinctes de $P$, alors $(X-z_1)\cdots (X-z_p)$ divise $P$.
  • Un polynôme de degré $n\geq 0$ admet au plus $n$ racines.
  • Soit $P\in\mathbb K[X]$, soit $z\in\mathbb K$ et soit $k\in\mathbb N$. On dit que $z$ est racine d'ordre de multiplicité $k$ si $(X-z),\dots,(X-z)^{k}$ divisent $P$, et $(X-z)^{k+1}$ ne divise pas $P$.
  • Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ de degré $N$ est dit scindé s'il se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j).$$
  • Relations coefficients/racines : Si un polynôme est scindé, on peut exprimer les coefficients en fonction des racines en développant l'expression ci-dessus. Plus précisément, si $$P(X)=\sum_{n=0}^N a_n X^n=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j)$$ alors $$a_{N-p}=(-1)^p a_N\sum_{1\leq k_1<k_2<\dots<k_p\leq N}z_{k_1}\cdots z_{k_p}.$$ En particulier, on a $$\sum_{k=1}^N z_k=-\frac{a_{N-1}}{a_N},\ \prod_{k=1}^N z_k=(-1)^N \frac{a_0}{a_N}.$$
Polynômes irréductibles sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$
  • Théorème : Tout polynôme non-constant de $\mathbb C[X]$ admet une racine dans $\mathbb C$.
  • Corollaire : Les polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ sont les polynômes de degré 1. Les polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
  • En particulier, tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$ non-constant se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$$ où $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb R$ de multiplicités respectives $\mu_1,\dots,\mu_r$, et où pour chaque $k$ on a $\beta_k^2-4\gamma_k<0$.
  • Polynôme dérivé, formule de Taylor et applications
    • Pour $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$, on note $P'=\sum_{n\geq 1}na_n X^{n-1}$ appelé polynôme dérivé. Si le corps est de caractéristique nulle et si $\deg(P )\geq 1$, alors $\deg(P')=\deg(P)-1$.
    • Formule de Taylor : Soit $P\in\mathbb K[X]$ et $z\in\mathbb K$. Alors, si le corps $\mathbb K$ est de caractéristique nulle, $$P(X)=\sum_{n\geq 0}\frac{P^{(n)}(z)}{n!}(X-z)^n.$$
    • Corollaire : Soit $P\in\mathbb K[X]$, soit $z\in\mathbb K$ et soit $k\in\mathbb N$. Si le corps $\mathbb K$ est de caractéristique nulle, les assertions suivantes sont équivalentes :
      • $z$ est racine de multiplicité $k$ de $P$.
      • $P(z)=P'(z)=\dots=P^{(k-1)}(z)=0$ et $P^{(k)}(z)\neq 0$.
    Corps des fractions, opérations, degré
    • Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.
    • On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$
    • Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.
    • Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg( P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.
    Fraction irréductible, zéros, pôles
    • Une fraction rationnelle $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.
    • Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.
    Décomposition en éléments simples
    • Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $A$ par $B$.
    • Théorème : Soit $F\in\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle non-nulle. Alors il existe un unique polynôme $E\in\mathbb K[X]$, des uniques polynômes irréductibles $H_1,\dots,H_p$ des uniques polynômes $J_{i,k}$ pour $1\leq i\leq p$ et $1\leq k\leq n_i$ avec $\deg(J_{i,k})<\deg(H_i)$ tels que $$F=E+\sum_{i=1}^p \left(\frac{J_{i,1}}{H_i}+\frac{J_{i,2}}{H_i^2}+\dots+\frac{J_{i,n_i}}{H_i^{n_i}}\right).$$ De plus, $E$ est la partie entière de $F$, et si $\frac{P}{Q}$ est une représentation irréductible de $F$, alors on a $$Q=\lambda H_1^{n_1}\cdots H_p^{n_p},\ \lambda\in\mathbb K\backslash\{0\}.$$
    • Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$
    • Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$