$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Intégration

Intégrale d'une fonction continue
  • Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier s'il existe une subdivision $\sigma=(c_0=a<c_1<\dots<c_n=b)$ de $[a,b]$ telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle $]c_i,c_{i+1}[$. On dit alors que $\sigma$ est une subdivision adaptée à $f$.
  • Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier et si $\sigma=(c_0=a<c_1<\dots<c_n=b)$ est une subdivision adaptée à $f$, on appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$ le réel $$\int_a^b f=\sum_{i=0}^{n-1} (c_{i+1}-c_i)f(x_i)$$ où $x_i$ est n'importe quel réel de l'intervalle $]c_i,c_{i+1}[$. Remarquons que le nombre $\sum_{i=0}^{n-1} (c_{i+1}-c_i)f(x_i)$ ne dépend pas d'une subdivision adaptée à $f$, ce qui justifie que notre définition est correcte.
  • Le théorème suivant est fondamental pour passer de l'intégrale d'une fonction en escalier à l'intégrale d'une fonction continue.
    Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors pour tout $\veps>0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ définies sur $[a,b]$ telles que $$\phi\leq f\leq \psi\textrm{ et }\psi-\phi\leq \veps.$$
  • Théorème et définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue et posons \begin{eqnarray*} \mathcal I^-(f)&=&\left\{\int_a^b \phi;\ \phi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \phi\leq f\right\}\\ \mathcal I^+(f)&=&\left\{\int_a^b \psi;\ \psi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \psi\geq f\right\}. \end{eqnarray*} Alors $\mathcal I^-(f)$ est majoré et $\mathcal I^+(f)$ est minoré. De plus, $$\sup \mathcal I^-(f)=\inf \mathcal I^+(f).$$ Ce nombre est appelé intégrale de $f$ sur $I$ et est noté $\int_a^b f$ ou $\int_a^b f(t)dt$.
Propriétés fondamentales de l'intégrale des fonctions continues sur un segment
  Soit $I=[a,b]$ un segment, et $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues sur ce segment.
  • linéarité : pour tout couple $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$, $$\int_a^b \big(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.$$
  • positivité : si $f\geq 0$, alors $\int_a^b f\geq 0$.
  • croissance : si $f\leq g$, alors $\int_a^b f\leq \int_a^b g$.
  • En particulier, on en déduit que $$\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|.$$
  • Relation de Chasles : si $c\in [a,b]$, alors $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$
  • Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz : $$\left|\int_a^b f(t)g(t)dt\right|\leq\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}\left(\int_a^b g^2(t)dt\right)^{1/2}$$ avec égalité si et seulement si la famille $(f,g)$ est liée.
Sommes de Riemann
  • Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb R$. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$
Relations entre intégrales et primitives
  On suppose $f$ continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux éléments de $I$.
  • Théorème fondamental du calcul intégral : L'application $F:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
  • Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
  • Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $I$, on a $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$.
  • Si $f$ est de classe $C^1$, alors pour tout $x\in I$, $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt.$
  • Si $u,v:J\to I$ sont dérivables sur $J$, alors l'application $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$ est dérivable sur $J$ et l'on a $$F'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)).$$
Intégration par parties et changement de variables
  • Théorème : Soient $u,v:I\to\mathbb C$ deux fonctions de classe $C^1$. Alors pour tous $a,b$ dans $I$, on a $$\int_a^b u'(t)v(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(t)v'(t)dt.$$
  • Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Intégrale impropre
  • Soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb K$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Dans ce cas, on note $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ ou $\int_a^{+\infty}f$ cette limite.
  • Soit $f:[a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ cette limite.
  • Soit $f:]a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) $c\in ]a,b[$, la fonction $x\mapsto \int_c^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$ et la fonction $x\mapsto \int_x^c f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ la somme de ces deux limites : $$\int_a^b f=\lim_{x\to a}\int_x^c f+\lim_{y\to b}\int_c^yf.$$
  • Dans la suite, on considèrera $I=(a,b)$ un intervalle de $\mathbb R$ ouvert ou semi-ouvert et $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions continues par morceaux.
  • Les propriétés usuelles sont vérifiées :
    • positivité : si $\int_I f$ converge et si $f\geq 0$ sur $I$, alors $\int_I f\geq 0$;
    • linéarité : si $\int_I f$ et $\int_I g$ convergent, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K$, $\int_I(f+\lambda g)$ converge et $\int_I(f+\lambda g)=\int_I f+\lambda \int_I g$.
    • Relation de Chasles : si $\int_I f$ converge, alors pour tout $c\in ]a,b[$, $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent et on a $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$
  • Théorème (cas des fonctions positives) : Si $f:[a,b[\to\mathbb R$ est positive, alors $\int_a^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.
  • Théorème (intégrales de Riemann) :
    • L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
    • L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$.
Fonctions intégrables
$I$ est un intervalle (semi)-ouvert de $\mathbb R$ et $f,g:I\to\mathbb K$ sont des fonctions continue par morceaux.
  • On dit que $f$ est intégrable sur $I$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si $\int_I|f|$ converge.
  • Théorème : Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge.
  • Si $f$ et $g$ sont intégrables sur $I$, alors $f+g$ est intégrable sur $I$ et on a $$\int_I |f+g|\leq \int_I |f|+\int_I |g|.$$
  • Si $f$ est continue sur $I$, intégrable et positive, alors $$\int_I |f(t)|dt=0\implies f\equiv 0.$$
  • Les deux propriétés précédentes entrainent que, si on note $\mathcal E(I)$ l'ensemble des fonctions continues et intégrables de $I$ dans $\mathbb K$, alors $\|f\|_1=\int_I |f(t)|dt$ est une norme sur $\mathcal E(I)$.
  • Théorème (critères d'intégrabilité par comparaison) : Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux.
    • si $0\leq f\leq g$ alors l’intégrabilité de $g$ sur $I$ implique celle de $f$;
    • si $f(x)\sim_b g(x)$ et si $f$ garde un signe constant au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ sur $I$ est équivalente à celle de $f$.
  • Le premier point du théorème précédent s'applique en particulier si $f(x)=_b O\big(g(x)\big)$ ou si $f(x)=_b o\big(g(x)\big)$.
  • Corollaire (comparaison à des intégrales de Riemann) : Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux.
    • S'il existe $\alpha>1$ tel que $t^\alpha f(t)\xrightarrow{t\to+\infty}0$, alors $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$.
    • S'il existe $c>0$ tel que $\lim_{t\to+\infty}tf(t)\geq c$, alors l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ n'est pas convergente.
  • On a un critère symétrique au voisinage d'un point $a$.
Intégration des relations de comparaison
Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continue par morceaux.
  • équivalence : Si $f\sim_b g$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b g(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b f(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt\sim_b \int_a^x g(t)dt$ (équivalence des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt\sim_b \int_x^b g(t)dt$ (équivalence des restes).
  • domination : Si $f=_bO(g)$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b O\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (domination des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b O\left(\int_x^b g(t)dt\right)$ (domination des restes).
  • négligeabilité : Si $f=_b o(g)$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b o\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (négligeabilité des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b o\left( \int_x^b g(t)dt\right)$ (négligeabilité des restes).
Permutation limites et intégrales
  • Lorsqu'on souhaite permuter une limite et une intégrale de fonctions continues sur un segment, on peut faire appel au théorème très simple suivant :
    Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb C$, convergeant uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$
  • Lorsqu'on a affaire à des intégrales impropres, on utilise des résultats plus sophistiqués, comme les énoncés suivants.
  • Théorème de convergence dominée : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\varphi$ positive. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
    • pour tout $t\in I$ et tout $n\geq 1$, $|f_n(t)|\leq \varphi(t)$;
    • la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$.
    Alors toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a $$\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$$
  • Théorème d'intégration terme à terme : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$;
    • la série $\sum_{n\geq 1}\int_I |u_n(t)|dt$ est convergente.
    Alors $f$ est intégrable sur $I$, et on a $$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$
  • Théorème de convergence monotone : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
    • pour tout $t\in I$, la suite $(f_n(t))$ est croissante.
    • Pour tout $n$, $f_n\geq 0$.
    Alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$
    En particulier, si $\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=+\infty$, la fonction $f$ n'est pas intégrable.
Régularité d'une intégrale à paramètres (sur un segment)
  • Théorème (continuité des intégrales à paramètres) Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I=[a,b]$ un segment de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que $f$ est continue sur $A\times I$. Alors la fonction $F:x\mapsto \int_a^b f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
  • Théorème (dérivabilité des intégrales à paramètres) Soit $I=[a,b]$ un segment, $J$ un intervalle et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que $f$ est continue sur $J\times I$ et qu'elle admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ elle-même continue sur $J\times I$. Alors la fonction $F:x\mapsto \int_a^b f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
Régularité d'une intégrale à paramètres
  • Théorème de continuité des intégrales à paramètres : Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
    • pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
  • Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
    • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
    • $f$ admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ définie sur $J\times I$;
    • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $J$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
  • Classe $\mathcal C^k$ des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$ et $k\geq 1$. On suppose que
    • $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la première variable $\frac{\partial^j f}{\partial x^j}$ définies sur $J\times I$ pour tout $j\leq k$;
    • pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est continue sur $J$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, $$F^{(k)}(x)=\int_I \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)dt.$$