$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : fonctions d'une variable réelle

Continuité
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $a\in I$.
  • On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet pour limite $f(a)$ en $a$ : $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-f(a)|<\veps.$$
  • Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.
  • On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de limite à droite et de limite à gauche.
  • On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.
  • Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue.
Grands théorèmes sur la continuité
  • Théorème des valeurs intermédiaires : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Soit $\gamma\in \mathbb R$ tel que $\gamma$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=\gamma$.
  • En particulier, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
  • Théorème (image d'un segment) : Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
  • En particulier, l'image d'un segment par une application continue est un segment.
Continuité, monotonie et injectivité
  • Théorème : Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb R$ continue. Alors $f$ est injective si et seulement si $f$ est strictement monotone.
  • Théorème : Soit $I$ un intervalle et $f:I\to J$ une bijection continue. Alors la fonction réciproque $f^{-1}$ est continue.
Fonctions uniformément continues
  • Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est uniformément continue si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$
  • Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.
  • La figure suivante illustre pourquoi la fonction $x\mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $[0,+\infty[$. Un $\veps>0$ étant fixé, il faudrait que l'on trouve un écart $\eta>0$ tel que, quelque soit le choix de $a$ dans $[0,+\infty[$, dès que $|x-a|<\eta$, on a $|x^2-a^2|<\veps$. Dans la figure suivante, le choix optimal (=le plus grand possible) de $\eta$ pour un certain $a$ est fait. Lorsque $a$ tend vers $+\infty$, on voit que la valeur de $\eta$ doit tendre vers 0. On ne peut pas choisir le même $\eta$ pour tous les $a$.
  • Au contraire, la fonction $x\mapsto \sqrt x$ est uniformément continue. Même lorsqu'on fait varier $a$, le meilleur $\eta$ ne devient pas trop petit.
Approximation des fonctions continues
  Le théorème de Heine permet d'approcher uniformément sur un segment les fonctions continues par des fonctions plus simples (polynômes, fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux).
  • Théorème de Weierstrass : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe un polynôme $P$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-P(x)|\leq\veps$.
    Autrement dit, toute fonction continue est limite uniforme de polynômes.
  • Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe une fonction en escalier $s:[a,b]\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-s(x)|\leq\veps$.
  • Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe une fonction affine par morceaux $g:[a,b]\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-g(x)|\leq\veps$.
Nombre dérivé et fonction dérivée
  • La fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$.
  • Une fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\mathbb R$ et une fonction $\veps$ définie dans un intervalle $J$ ouvert contenant $0$, vérifiant $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0$ tels que $$\forall h\in J,\ f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\veps(h).$$ Dans ce cas, on a $\alpha=f'(a)$ et on dit que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$.
  • Proposition : si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
  • Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe représentative de $f$ en $a$ admet une tangente d'équation $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
  • On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$.
  • On parle de dérivée à droite (resp. de dérivée à gauche) lorsque la limite à droite (resp. à gauche) du taux d'accroissement admet une limite.
  • Opérations sur les dérivées :
    • Somme et produit : Soient $I$ un intervalle et $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$
    • Quotient : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables en $a\in I$. Si de plus $g(a)\neq 0$, alors $f/g$ est dérivable en $a$ et $$\left(\frac f g\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}.$$
    • Composée : Soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$
    • Réciproque : Si $f:I\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$, la réciproque $f^{-1}:J\to\mathbb R$ est dérivable et, pour tout $b\in J$, $$(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}.$$ En particulier, les tangentes en $(a,f(a))$ à $C_f$ et en $(f(a),a)$ à $C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations
  • Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ admet un
    • minimum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\geq f(a).$$
    • maximum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\leq f(a).$$
    • extrémum local en $a$ s'il admet un maximum ou un minimum local en $a$.
  • Proposition : Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable en $a$. Alors si $f$ admet un extrémum local en $a$, on a $f'(a)=0$.
  • Théorème de Rolle : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f'( c)=0.$$
  • Théorème des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'( c)(b-a).$$
  • Inégalité des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb C$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que, pour tout $t\in [a,b]$, $|f'(t)|\leq M$. Alors : $$|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.$$
  • On dit que $f:I\to\mathbb R$ est $M$-lipschitzienne si, pour tous $x,y\in I$, on a $$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|.$$ L'inégalité des accroissements finis dit que, si $|f'|\leq M$, alors $f$ est $M$-lipschitzienne.
  • Application à l'étude du sens de variation des fonctions : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Alors
    • $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$.
    • $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$.
    • $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'= 0$ sur $I$.
    • $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
    • $f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
    En particulier, si $f'> 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.
  • Théorème de prolongement d'une dérivée : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur $I\backslash \{a\}$. On suppose que $f'$ admet une limite $\ell\in\overline{\mathbb R}$. Alors $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$$ En particulier, si $\ell\in\mathbb R$, $f$ est dérivable en $a$ et $f'$ est continue en $a$.
  • La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que $f:I\to\mathbb C$ est dérivable si et seulement $\Re e(f)$ et $\Im m(f)$ sont dérivables.
  • Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis sont faux pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. En revanche, l'inégalité des accroissements finis reste vraie.
Dérivées successives
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.
  • On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.
  • Formule de Leibniz : Soient $f,g:I\to\mathbb C$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et \begin{eqnarray*} (fg)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}\\ &=&f^{(n)}g+\binom n1 f^{(n-1)}g'+\binom n2 f^{(n-2)}g''+\dots+\binom nkf^{(n-k)}g^{(k)}+\dots+fg^{(n)} \end{eqnarray*}
  • Théorème : Si $f:I\to\mathbb R$ est de classe $C^n$ sur $I$ est telle que $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et $f^{-1}$ est de classe $C^n$ sur $J$.
  • Théorème (prolongement d'une fonction de classe $C^n$) : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, de classe $C^n$ sur $]a,b]$. On suppose que, pour tout entier $p\leq n$, $f^{( p)}$ admet une limite finie $\ell_p$ en $a$. Alors $f$ est une application de classe $C^n$ sur $[a,b]$ et pour tout $p\leq n$, on a $f^{(p )}(a)=\ell_p$.
Fonctions convexes d'une variable réelle
  $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$.
  • On dit que $f$ est convexe si, pour tous $x,y\in I$ et tout $t\in [0,1]$, on a $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$$ Autrement dit, $f$ est convexe lorsque son épigraphe $E(f)$ est convexe, où $$E(f)=\{(x,y);\ y\geq f(x)\}$$ (il s'agit donc de la partie située au dessus de la courbe de $f$). Ceci signifie aussi que la courbe représentative de $f$ est en-dessous de ses cordes entre les deux extrémités de la corde.
  • Proposition : $f$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\geq 2$, pour tous $x_1,\dots,x_n\in I$, pour tous réels $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ de $[0,1]$ tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$, alors $$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).$$
  • Théorème (inégalité des pentes) : $f$ est convexe si et seulement si, pour tous $a,b,c\in I$ avec $a<b<c$, on a $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \frac{f(c)-f(a)}{c-a}\leq \frac{f(c)-f(b)}{c-b}.$$
  • Une fonction est dite concave lorsque $-f$ est convexe, c'est-à-dire lorsque pour tous $x,y\in I$ et tout $t\in [0,1]$, on a $$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$$ Pour une fonction concave, l'inégalité des pentes est inversée.
Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables
  $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$.
  • Théorème : On suppose que $f$ est dérivable. Alors $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante.
  • Corollaire : On suppose que $f$ est deux fois dérivable. Alors $f$ est convexe si et seulement si $f''\geq 0$. $f$ est concave si et seulement si $f''\leq 0$.
  • En particulier, la courbe représentative d'une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes, c'est-à-dire que pour tout $x,a\in\mathbb R$, on a $f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a)$; de même, la courbe représentative d'une fonction concave est située en-dessous de ses tangentes.
  • A l'aide de cette propriété, on démontre de nombreuses inégalités comme $$\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x.$$
Formules de Taylor
  • Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(t)+\int_0^1 \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
  • Formule de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n}$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(b)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)=\frac{f^{n}(c)(b-a)^{n}}{n!}.$$
  • Inégalité de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$\left| f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$ avec $M_{n+1}=\sup_{[a,b]}|f^{n+1}|$.
  • Formule de Taylor-Young : Soit $f:I\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^n$ et $a\in I$. Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$