$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : équations différentielles

  Dans la suite, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb R$.
Généralités
  • On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation de la forme $$X'(t)+A(t)X(t)=B(t)$$ où $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb C)$ et $B:I\to \mathbb C^n$ sont deux fonctions continues. Résoudre l'équation différentielle, c'est déterminer les fonctions $X:I\to \mathbb C^n$ dérivables qui satisfont l'équation précédente.
  • L'équation différentielle homogène associée à l'équation différentielle précédente est l'équation $$X'(t)+A(t)X(t)=0.$$
  • Soit $(t_0,x_0)\in I\times \mathbb C^n$ et $X'(t)+A(t)X(t)=B(t)$ une équation différentielle linéaire. On appelle problème de Cauchy associé la détermination des solutions de l'équation différentielle vérifiant de plus $X(t_0)=X_0$.
  • Théorème de Cauchy linéaire : Soit $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb C)$, $b:I\to \mathbb C^n$ deux fonctions continues et $(t_0,X_0)\in I\times \mathbb C^n$. Alors le problème de Cauchy $$\left\{\begin{array}{rcl} X'(t)+A(t)X(t)&=&B(t)\\ X(t_0)&=&X_0 \end{array}\right.$$ admet une solution unique définie sur $I$.
  • Théorème (structure de l'ensemble des solutions) : Soit $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb C)$, $B:I\to E$ deux fonctions continues. L'ensemble des solutions $\mathcal S$ de l'équation différentielle linéaire homogène $$X'(t)+A(t)X(t)=0$$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal C^1(I,E)$ de dimension $n=\dim(E)$. De plus, l'application $X\mapsto X(t_0)$ est un isomorphisme de $\mathcal S$ sur $E$.
    L'ensemble des solutions de l'équation complète $$X'(t)+A(t)X(t)=B(t)$$ est un sous-espace affine de dimension $n=\dim(E)$.
Résolution des systèmes à coefficients constants
  • Si $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, on appelle exponentielle de $A$ la matrice $$\exp(A)=\sum_{n\geq 0}\frac{A^n}{n!}$$ (cette dernière série convergeant absolument pour tout matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
  • Théorème : L'application exponentielle vérifie les propriétés suivantes :
    • $A\mapsto \exp(A)$ est une application continue de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$.
    • Si $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ sont tels que $AB=BA$, alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$.
    • Pour tout $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, l'application $t\mapsto \exp(tA)$ est dérivable, de dérivée $t\mapsto A\exp(tA)$.
  • Théorème : Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, $t_0\in\mathbb R$ et $X_0\in \mathbb C^n$. L'unique solution au problème de Cauchy $$\left\{ \begin{array}{rcl} X'(t)&=&AX(t)\\ X(t_0)&=&X_0 \end{array}\right.$$ est la fonction $t\mapsto \exp\big((t-t_0)A\big)X_0$.
  • Corollaire : Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ diagonalisable, $(X_1,\dots,X_n)$ une base de vecteurs propres de $a$ associés respectivement à $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Notons $\varphi_i(t)=e^{\lambda_i t}X_i$. Alors $(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène $X'=AX$.
Méthode de variation des constantes
On considère un système différentiel du type $$X(t)=A(t)X(t)+B(t),$$ avec $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $B:I\to\mathbb K^n$ continues.
  • On appelle système fondamental de solutions de ce système toute base $(X_1,\dots,X_n)$ de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.
  • Proposition : Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un système fondamental de solutions, et $(C_1,\dots,C_n)$ une famille de $n$ fonctions de classe $\mathcal C^1$ de $I$ dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$. L'application $X$ définie par $$X(t)=\sum_{i=1}^n C_i(t)X_i(t)$$ est solution de l'équation avec second membre si et seulement si, pour tout $t\in I$, $$\sum_{i=1}^n C_i'(t)X_i(t)=B(t).$$
Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2
  • On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 définie sur $I$ toute équation de la forme $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$$ où $a,b,c:I\to \mathbb C$ sont des fonctions continues et $x:I\to\mathbb C$ est une fonction inconnue deux fois dérivable sur $I$.
  • Traduction matricielle : Notons $X$ le vecteur $$X(t)=\left(\begin{array}{c} x(t)\\ x'(t) \end{array}\right)$$ et $A$, $B$ les matrices $$A(t)=\left( \begin{array}{cc} 0&1\\ -b(t)&-a(t) \end{array}\right),\quad B(t)=\left( \begin{array}{c} 0\\ c(t) \end{array}\right),$$ l'équation différentielle scalaire d'ordre $2$ $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$$ est "équivalente" au système $X'(t)=A(t)X(t)+B(t)$ au sens où $x$ est solution de l'équation scalaire si et seulement si c'est la première coordonnée de $X$ solution de l'équation vectorielle.
  • Soit une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$$ Soit également $(t_0,x_0,x_1)\in I\times \mathbb C^2$. On appelle problème de Cauchy associé la détermination des solutions de l'équation différentielle vérifiant de plus $x(t_0)=x_0,\ x'(t_0)=x_1$.
  • Théorème : Si $a,b$ et $c:I\to \mathbb C$ sont des fonctions continues, le problème de Cauchy $$\left\{ \begin{array}{l} x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t) x(t_0)=x_0,\ x'(t_0)=x_1 \end{array} \right.$$ admet une solution unique.
  • Corollaire : Si $a,b$ et $c:I\to \mathbb C$ sont des fonctions continues, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire scalaire homogène d'ordre 2 $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0$$ est un sous-espace vectoriel de dimension 2. L'ensemble des solutions de l'équation avec second membre x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t) est un sous-espace affine de dimension $2$.
  • Méthode de variation des constantes pour les équations différentielles linéaires d'ordre $2$ : soit $(f,g)$ un système fondamental de solutions de l'équation homogène. On cherche une solution particulière $x(t)$ sous la forme $$x(t)=\lambda(t)f(t)+\mu(t)g(t).$$ La méthode de variation des constantes s'écrit alors : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda'(t) f(t)+\mu'(t)g(t)&=&0\\ \lambda'(t) f'(t)+\mu'(t)g'(t)&=&c(t). \end{array} \right. $$
  • Cas des équations à coefficients constants : on suppose qu'on a une équation homogène $$x''=ax'+bx$$ à coefficients constants. On introduit l'équation caractéristique $$r^2=ar+b.$$
    • Résolution sur $\mathbb C$ :
      • si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
      • si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
    • Résolution sur $\mathbb R$ :
      • si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
      • si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
      • si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$
Équations différentielles non linéaires
  Dans cette partie, $\mathcal U$ désigne un ouvert de $\mathbb R^2$ et $f:\mathcal U\to\mathbb R$ est une fonction continue.
  • On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme $$x'(t)=f\big(t,x(t)\big)$$ où $\mathcal U$ désigne un ouvert de $\mathbb R^2$ et $f:\mathcal U\to\mathbb R$ est une fonction continue. Une solution de cette équation est un couple $(I,x)$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, $x$ une fonction dérivable de $I$ dans $\mathbb R$ tels que, pour tout $t\in I$, $(t,x(t))\in \mathcal U$ et $x'(t)=f\big(t,x(t)\big)$. On dit que la solution est maximale si elle n'est pas la restriction d'une solution sur un intervalle contenant strictement $I$. Autrement dit, $(I,x)$ est une solution maximale lorsque, pour toute autre solution $(J,y)$ telle que $I\subset J$ et $y_{|I}=x$, alors $I=J$.
  • Théorème (Cauchy-Lipschitz) : Soit $\mathcal U$ un ouvert de $\mathbb R^2$ et $f:\mathcal U\to\mathbb R$ une fonction continue. Pour tout $(t_0,x_0)\in\mathcal U$, le problème de Cauchy $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'(t)=f(t,x(t))\\ x(t_0)=x_0 \end{array}\right.$$ admet une unique solution maximale.