S'il est bien quelque chose au coeur des mathématiques, c'est le raisonnement logique. Faire des mathématiques, c'est d'abord conjecturer un résultat, sur un dessin parfois. Mais c'est ensuite aussi démontrer ce résultat, à l'aide d'une argumentation rigoureuse. Et parfois, il ne faut pas se laisser tromper par son intuition, ou par les illusions d'optique, et le raisonnement logique infirme ce qu'on croyait vrai au départ.

  L'exemple ci-dessous est là pour vous prouver que parfois, nous sommes trompés par nos yeux!

  Considérons un triangle ABC tel que AB=10cm, l'angle BAC vaut 55 degrés, et l'angle ABC vaut 38 degrés. A l'extérieur de ce triangle, nous construisons le point D tel que l'angle BCD vaut 90 degrés, et CD vaut 3 cm. Que peut-on dire des points A,C,D?

  Si on regarde bien la figure précédente (réalisée sans trucage!), il semble bien que les points A,C et D sont alignés. Essayons de le prouver. Pour cela, on va travailler avec les angles. Dire que les points sont alignés, cela revient à dire que l'angle ACD fait 180 degrés (est plat). Cela signifie que si les 3 points sont alignés, alors l'angle fait 180 degrés, mais aussi que si une mesure de l'angle fait 180 degrés, alors les 3 points sont alignés. On dit en mathématiques que les deux propositions sont équivalentes. Comment calculer une mesure de l'angle ACD? On va procéder par décomposition :

• D'une part, ACD = ACB + BCD.
• Mais, par hypothèse, BCD=90°.
• La somme des angles d'un triangle fait 180°, donc 180=CAB+ABC+ACB. En remplaçant la mesure des angles connus par leur valeur, on trouve ACB=87°.

  En conclusion, on a ACD=177°, qui est différent de 180° : les points A,C et D ne sont pas alignés... Notre oeil nous a trahi!

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