Problèmes d'origine Agrégation interne

Thèmes : Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Topologie - Arithmétique -
Mots-clés : Anneaux $\mathbb Z/n\mathbb Z$, matrices inversibles de $\mathbb Z/p\mathbb Z$, indicateur d'Euler, valuation et valeur absolue $p$-adique, entiers $p$-adiques, structure d'anneaux et topologie, termes nul d'une suite récurrente linéaire, exponentielle $p$-adique

Thèmes : Algèbre linéaire - Espaces euclidiens - Equations différentielles - Intégration -
Mots-clés : Équations différentielles, problème de Sturm-Liouville, problème de Cauchy, wronskien des solutions, recherche d'éléments propres en dimension infinie, projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, opérateur à noyau, fonction de Green

Thèmes :
Mots-clés : Vrai/faux, démonstration du théorème de Cayley-Hamilton, matrice compagnon, résolution d'une équation de type Fermat matricielle, matrices symétriques, sous-corps de $\mathbb C$

Thèmes : Séries entières - Probabilités - Statistiques -
Mots-clés : Vrai/Faux, question de cours sur les séries entières, application à un problème de dénombrement (nombre de partitions de $\{1,\dots,N\}$), familles sommables, sommation par paquets, théorème de transfert, estimation de paramètres de variables aléatoires, inégalite de Cramer-Rao, loi de Poisson, moyenne empirique, variance empirique

Thèmes : Polynômes - Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Matrices -
Mots-clés : Formes linéaires sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$, endomorphismes diagonalisables qui commutent, sous-algèbre irréductible de $\mathcal L(E)$, théorème de Burnside, endomorphismes nilpotents, irréductibilité de polynômes de $\mathbb Q[X]$, matrices unipotentes, théorème de Kolchin, matrices magiques et matrices de permutation, passage au quotient et co-trigonalisation

Thèmes : Algèbre linéaire - Equations différentielles - Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries de Fourier -
Mots-clés : Fonctions presque-périodiques, convergence uniforme du produit de deux suites de fonctions uniformément convergentes, convergence uniforme et uniforme continuité, primitive périodique de fonctions périodiques, noyau de Féjer, théorème de Féjer, coefficients de Fourier-Bohr, solutions bornées d'équations différentielles, equations différentielles exponentiellement stables

Thèmes : Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Topologie -
Mots-clés : Décomposition de Bruhat d'une matrice, drapeaux d'un espace vectoriel, endomorphismes nilpotentes, groupe quotient, groupe quotient, réalisation du groupe diédral, décomposition LU, topologie des espaces de matrices

Thèmes : Espaces euclidiens - Calcul différentiel - Séries de Fourier - Topologie -
Mots-clés : Différentiabilité de la fonction distance à une partie fermée, projection sur un convexe fermé, décomposition en série de Fourier, décomposition d'un ouvert en réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints, différentiabilité d'une application, distance à la sphère unité

Thèmes : Polynômes - Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Matrices -
Mots-clés : Spectre d'un graphe et nombre chromatique, inégalités sur les valeurs propres d'une matrice symétrique, nombre d'arbres couvrant un graphe, déterminant de matrices à valeurs dans un anneau, formule de Binet-Cauchy, groupe des automorphismes d'un graphe, groupe opérant sur un ensemble, groupe simple

Thèmes : Polynômes - Espaces euclidiens - Intégration -
Mots-clés : Polynômes orthogonaux d'Hermite, fonction Gamma, fonction Beta, dérivée d'ordre fractionnaire

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Déterminants - Réduction des endomorphismes - Topologie - Matrices -
Mots-clés : déterminant d'un endomorphisme, démonstration de résultats dans des espaces de matrices par continuité et densité, densité de l'ensemble des matrices inversibles, résultant et discriminant de polynômes, espaces vectoriels quotients

Thèmes : Algèbre bilinéaire - Suites et séries de fonctions - Topologie - Algorithmique - Matrices -
Mots-clés : Distance d'un point à une partie, norme liée au rayon spectral, décomposition polaire, courbe médiatrice de deux fermés, compacité

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Suites - Topologie - Matrices -
Mots-clés : Décomposition polaire d'une matrice, classes de similitude de matrices involutives, convergence de la suite des puissances d'une matrice

Thèmes : Intégration - Séries numériques - Suites et séries de fonctions - Séries de Fourier - Transformée de Fourier -
Mots-clés : Fonction elliptique de Weierstrass, formule sommatoire de Poisson, théorème de Fubini pour les familles sommables, étude de séries de fonctions et d'intégrales à paramètres

Thèmes : Polynômes - Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Calcul différentiel - Géométrie -
Mots-clés : Laplacien, boules tangentes, fonctions homogènes, matrices symétriques positives

Thèmes : Calcul différentiel - Séries numériques - Topologie -
Mots-clés : opérateur shift, séries indexées par Z, espaces de suites, lipschitzianité de fonctions de plusieurs variables, méthode de Newton en dimension n

Thèmes : Polynômes - Groupes, Anneaux, Corps - Algèbre linéaire - Arithmétique - Matrices -
Mots-clés : Corps fini, morphismes de groupes, morphisme d'anneaux, polynômes sur des corps finis

Thèmes : Intégration - Suites - Séries numériques - Probabilités -
Mots-clés : Fonction gamma, constante gamma d'Euler, intégrales à paramètres, comparaison séries intégrales, calcul de l'intégrale de Gauss, produits infinis, variables aléatoires suivant la loi gamma

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Topologie - Matrices -
Mots-clés : Groupes linéaires, groupe des bijections affines du plan, exponentielle d'une matrice, topologie des espaces de matrices

Thèmes : Fonctions dérivables - Probabilités -
Mots-clés : Démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass, polynômes de Bernstein, inégalité de Markov, loi de Bernoulli, loi binomiale, courbes de Bézier, fonctions hölderiennes

Thèmes : Polynômes - Topologie - Géométrie - Matrices -
Mots-clés : Indice d'une fraction rationnelle, suite de Sturm, théorème du relèvement, théorème de Hopf, indice en géométrie différentielle

Thèmes : Polynômes - Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières - Topologie - Matrices -
Mots-clés : Norme d'algèbre, exponentielle dans une algèbre, séries doubles