L'Hypocondriaque

  C'est un simple calcul de fractions! Soit f la fréquence où j'ai mal aux 3 endroits. On a : 1=f+1/3+1/4+1/5+1/6. D'où, en mettant tout au même dénominateur, on a f=3/60=1/20 : j'ai mal au dos, aux dents et à la tête un jour sur 20! Aie,aie,aie!

L'âge de Diophante

  Une simple mise en équation, en posant x l'âge de Diophante, conduit à l'équation : x/6+x/12+x/7+5+X/2+4=x, ce qui se résout facilement en x=84. Si cela peut nous sembler facile, ce l'était beaucoup moins avant l'invention de la notation algébrique moderne par François Viète.

Les océans

  L'indien fait les 9/20 du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique ensemble font 18/100=9/50 du Pacifique. Mais Arctique seul fait 1/4×1/2=1/8 du Pacifique. L'Antarctique fait donc 9/50-1/8=11/200 du Pacifique. Il faut donc 200/11, soit un peu plus de 18, océans de la taille de l'Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique.

L'âge de Timothée

  On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa soeur, et de son père. La première équation, facile, est x+y+z=100 (somme des âges égale un siècle). Analysons les autres phrases :

• Quand Timothée aura l'âge qu'a maintenant son père (l'âge de Timothée sera donc z=x+(z-x), donc l'âge de la soeur sera y+(z-x), celui du père sera z+(z-x) ) alors sa soeur sera deux fois plus vieille - on a donc y+(z-x)=2y, c'est-à-dire que x+y-z=0 (et donc z=50!).
• Quand sa soeur aura l'âge actuel de son père (donc l'âge de la soeur sera y+(z-y), celui de Timothée sera x+z-y, celui du père sera 2z-y), l'âge du père sera le double de celui de Timothée, et donc : 2z-y=2*(x+z-y), soit 2x=y.

  On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z=50, et : y=50-x, soit 100=3x, soit x=50/3, et donc y=100/3.

L'élection présidentielle

  Non! En effet, si x est le pourcentage de voix du premier candidat, et s'il y a n candidats, alors on a :x+x/2+x/4+...+x/2^n-1=100. Soit en factorisant par x : x*(1+1/2+1/4+...+1/2^n-1)=100. Or, d'après le calcul de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on sait que : 1+1/2+...+1/2^n-1 <2. On obtient donc que x>50. Le premier candidat est élu sans second tour.

L'âge de ma fille

  On note x le chiffre des dizaines de mon âge, et y le chiffre des unités. On sait que xy-yx est compris entre 20 et 30, puisque cela correspond à la différence des 2 âges. Or, on vérifie facilement que xy-yx=10*x+y-10*y-x=9*(x-y) est donc un multiple de 9. J'avais donc 27 ans le jour de la naissance de ma fille.

Un problème d'âge classique

  En posant x mon âge, et y le votre. L'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez est donné par : y-(x-y) (c'est-à-dire y moins la différence d'âge). On obtient donc comme première équation x=2(y-(x-y)) c'est-à-dire 3x-4y=0. Quand vous aurez l'âge que j'ai, votre âge sera x et le mien x+(x-y). La deuxième équation est donc 3x-y=63. Il suffit ensuite de résoudre le système, et on obtient: x=28 et y=21.

Pour les accrocs aux problèmes d'âge

  Je note x l'âge d'Erwan (actuellement). Mon âge est x+24. Il y a 24 ans, j'avais x ans, et l'âge d'Erwan était x-24. Comme mon âge actuel est le double de celui d'Erwan à l'époque, on a : x+24=2(x-24). On en déduit que x=72 : Erwan a 72 ans, et moi 96... Nous sommes des papys maintenant!

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