Des sincères et des menteurs autour d'une table ronde

  La question a poser à n'importe quel membre était : "Votre voisin dirait-il de vous que vous êtes sincère ?". Comme tous les membres ont répondu que leur voisin de gauche était menteur, on peut en déduire qu'autour de la table il y a alternance des menteurs et des sincères. En effet, le menteur répondait que son voisin sincère était menteur et le voisin sincère répondait que son voisin menteur était menteur. Partant de là, le membre questionné répondra si il est sincère que son voisin menteur dira qu'il est menteur et répondra si il est menteur que son voisin sincère dira qu'il est sincère. On pourra alors dicerner par la réponse si le membre est sincère ou si le membre est menteur.

Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Le dernier condamné, voiyant le chapeau de tous les autres sauf le sien, compte par exemple le nombre de chapeaux blancs.
- S'il en voit un nombre pair, il dit "blanc".
- S'il en voit un nombre impair, il dit "noir"!
Il a une chance sur deux de mourir ainsi.

L'avant dernier condamné voit lui tous les chapeaux qui le précèdent.
Supposons qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs :
- si le dernier condamné a dit "blanc", c'est qu'il voyait lui aussi un nombre pair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné dit donc "noir".
- si le dernier condamné a dit "noir", c'est qu'il voyait lui un nombre impair de chapeaux blancs. Le chapeau de l'avant-dernier condamné est donc blanc, ce qu'il dit.
Bien sûr, la situation est symétrique s'il voit un nombre impair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné est sauvé!
On peut remonter ainsi toute la file, car on dispose toujours de l'information : "parité du nombre de chapeaux blancs que voyait le condamné disposé derrière dans la file".

L'Ile du Pendu

  Vous sauverez Véro en remarquant que l'emplacement de la potence n'a pas d'influence sur le point que l'on trouve au final. Regardez le dessin suivant : la potence a été placée à deux endroits différents, P₁ et P₂. En suivant toute la démarche indiquée dans le parchemin, on trouve le même point!

  Expliquons géométriquement ce fait. On note P la potence, C le chêne, E l'érable, T le trésor, J le premier pieu, K le second. On se place dans le repère suivant : C est le centre du repère, (CE) est l'axe des abscisses, et le repère choisi est orthonormé. E a pour coordonnées (a,0), et P(x,y) (x et y sont inconnues). K est obtenu à partir de P par rotation de centre C et d'angle -pi/2. Ses coordonnées sont donc K(y,-x). K est obtenu à partir de P par rotation de centre E et d'angle Pi/2. Ses coordonnées sont donc J(a-y,x-a). Les coordonnées de T milieu de [KJ] sont donc T(a/2,-a/2). Cela ne dépend pas des coordonnées de la potence.

  Pour Véro, il suffit donc de prendre n'importe quel point de l'ile pour point de départ. Le plus facile est encore de prendre un des deux arbres!

La vieille dame et son horloge

  Visiblement, cette vieille dame avait encore toute sa tête. Avant de partir de chez elle, elle a pris soin de remonter l'horloge, et de la mettre à midi. Elle s'en va chez Madeleine, et note immédiatement l'heure en arrivant. Puis quand elle repart, elle regarde encore l'heure. Arrivée chez elle, elle connait :

1. le temps qu'elle a passé chez Madeleine.
2. le temps total y compris le trajet.

Elle peut donc en déduire le temps total du trajet, et donc, en divisant par deux, le temps nécessaire pour le retour. En additionnant ce temps à l'heure qu'elle a noté chez Madeleine, elle connait l'heure exacte actuelle!

Mais qui a volé l'argent???

  Ce sont les deux commerçants qui ont payé!!! Et ils l'ont payé au moment de la dévaluation! Voici un tableau qui explique pourquoi :

	Le commerçant du nord a en magasin et en caisse :	Commerçant du sud	Jeune homme
Avant la dévaluation :	1 dollar du sud, et un rasoir, soit dans la monnaie de son pays : 1,1 dollars du nord	1 dollar du sud, et un paquet de lames de rasoir, soit dans la monnaie de son pays : 1,1 dollars du sud	1 dollar du nord!
Après les dévaluations :	Son dollar du sud ne vaut plus que 0,90 dollars du nord. Il a donc en tout 1 dollar du nord, qui est la monnaie de son pays	Son dollar du nord ne vaut plus que 0,90 dollars du sud, soit au total dans la monnaie de son pays : 1 dollar du sud!	1 dollar du nord!
Après les achats :	Il n'a plus le rasoir, mais en caisse un dollar du nord : Total : un dollar du nord!	Il n' a plus de lames de rasoir, mais en caisse un dollar du sud : Total : un dollar du sud!	1 dollar du nord, plus un rasoir et ses lames!
Analyse :	Perte sèche de 0.10 dollars du nord.	Perte sèche de 0.10 dollars du sud	Gain : un rasoir et ses lames.

Mais où est passé l'argent????

  Les deux fermières ont simplement été trop vite en besogne. Voyons comment vendre leurs pommes : une apporte 2 pommes à 5 euros, l'autre 3 pommes à 5 euros, pour faire un paquet de 5 pommes à 10 euros. Une fois 10 paquets à 10 euros faits, un des paquets est épuisé, et il reste dans le deuxième paquet 10 pommes vendues 2 pour 5 euros, soit les 10 pour 25 euros. Avec la solution choisie par les fermières, elles sont vendues 5 pour 10 euros, soit 10 pour 20 euros.

Auto-référence

  On applique la méthode mathématique de résolution (approchée) d'une équation dite méthode des approximations successives. On choisit un nombre au hasard, et on remplace les _____ par ce nombre. On compte les consonnes dans la phrase obtenue, et on choisit à l'étape suivante ce nombre. Lorsqu'on obtient deux fois de suite le même nombre, on a résolu le problème. Voici ce que cela donne pour notre exemple, en commençant par exemple par dix-huit.

Cette phrase contient dix-huit consonnes (24)
Cette phrase contient vingt-quatre consonnes (25)
Cette phrase contient vingt-cinq consonnes (25)
Cette phrase contient vingt-cinq consonnes (25)

Le nombre recherché est donc 25. On aurait pu partir de tout autre nombre que 18, on aurait trouvé une solution....

Mathématiciens et âge des enfants

  Nous décomposons 36 en produits de 3 facteurs (les âges possibles des filles), et calculons la somme des 3 âges.

36=	1*1*36	38
	1*2*18	21
	1*3*12	16
	1*4*9	14
	1*6*6	13
	2*2*9	13
	2*3*6	11
	3*3*4	10

Puisqu'Antoine n'a pas su conclure en connaissant la somme de leurs âges, c'est qu'on est dans le cas où deux sommes sont égales, et on est dans le cas 2*2*9, où 1*6*6. Mais puisqu'on a l'information supplémentaire de l'existence d'un aîné, on peut conclure que les âges respectifs des enfants de Bertrand sont 9,2,2.

Les logiciens sont-ils timbrés????

  Si C voit 4 timbres rouges, ou 4 timbres verts, il aurait conclu que lui en avait deux de la couleur opposée. Ce n'est pas le cas. Donc ou A, ou B a un timbre rouge, un timbre vert. Si B a deux timbres rouges, ou deux timbres verts, A aurait conclu. Ce n'est pas le cas. Donc B a un timbre rouge, un timbre vert!!!

Mathématiciens et produits de nombres.

  Nous ne faisons qu'initier le raisonnement, le détail de tous les cas étant un peu fastidieux. On remarque déjà que le produit P ne peut être un produit de nombres premiers. Puis il faut traduire que la somme S permet de savoir que P n'est pas un tel produit. Etc.... On trouve finalement que P=52, et que S=17, c'est-à-dire que les nombres sont 13 et 4.

Alignements d'arbre.

  Il suffit de les aligner comme sur la figure ci-dessous : En fait, si l'on prend 6 droites, 2 à 2 non parallèles, et qui ne se coupent jamais à 3 ou plus en un même point, il y a 15 points d'intersection. Il suffit de disposer les arbres aux points d'intersection de ces droites.

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