Un nombre à neuf chiffres

La réponse est le nombre 381654729 avec :

• 3/1 = 3
• 38/2 = 19
• 381/3 = 127
• 3816/4 = 954
• 38165/5 = 7 633
• 381654/6 = 63 609
• 3816547/7 = 545 221
• 38165472/8 = 4 770 684
• 381654729/9 = 42 406 081

Ce nombre peut être obtenu par un programme ou encore en exploitant toutes les divisibilités..

Les poignées de mains

Imaginons par l'absurde que chacun ait serré un nombre différent de mains. Il y aura donc un élève qui aura serré N-1 mains, un élève qui aura serré N-2 mains, .., une élève qui aura serré 2 mains, une élève qui aura serré 1 main et enfin un élève qui aura serré 0 main.

Ceci est absurde car l'élève qui a serré N-1 mains a serré la main de tous les anciens élèves, il n'y a donc personne qui a serré 0 main.

CQFD

Le partage équitable

Le nombre de billets de 10 € est impair.
Or, le carré de n'importe quel multiple de 10 étant pair, il faut bien que le carré du dernier chiffre du nombre de moutons comprenne un nombre impair de dizaines...
Seuls 4 (4² = 16) et 6 (6² = 36) répondent à la condition.
Dans les deux cas , la terminaison est 6...
Donc, le chiffre des unités du carré du nombre de moutons, donc de la somme reçue, est 6...
La somme reçue en monnaie était donc de 6 €.
Le plus jeune ayant pris les 6 €, il accusait encore un déficit de 4 € sur son aîné...
Il y avait donc un partage équitable avec un chèque de 2 €

Arnaque ou pas au craps ?

La réponse est non : il ne faut pas accepter ce dernier pari. Les deux premiers paris sont à l'avantage du lanceur (vous) car il y a plus de probabilité de tomber sur un 7 (6/36) que sur un 8 (5/36) ou un 6 (5/36). Cependant, la probabilité d'obtenir un 8 et un 6 avant d'obtenir deux 7 est de 0.546. Donc le pari est, en terme de probabilité, plus avantageux pour l'arnaqueur.

Voici les calculs d'une membre active du forum pour trouver la probabilité 0.546 :

Introduction :

On calcule la probabilité de d'obtenir un deuxième 7 au (n+1)ième coup sans avoir sorti de 8,6 avant (comme je l'ai dit dans le dernier message)
Pour cela il faut qu'au nième coup, on ait déjà un total de 7.
Cependant, il y aura 3 cas de figure pour le nième coup :
-pas de 8 ni de 6 sorti (Pa)
-des 6 mais pas de 8 (Pb)
-des 8 mais pas des 6 (Pc)
Or Pr6=Pr8 donc Pb=Pc

Notations :

On rappelle que n est le nombre de coups avant la sorti du deuxième 7 (n+1)
m : probabilité d'obtenir 7
p : probabilité d'obtenir 8 ou encore probabilité d'obtenir 6
o : probabilité obtenir ni 6 ni 7 ni 8.

Remarque : On a m+o+2n=1.

Calculs :

Pa est le fait d'obtenir ni 8, ni 6, ni 7 sauf une et une seule fois le 7 :


Pb est plus complexe. On peut faire un 8 comme 2*8, comme 5*6 :

ou encore plus simple

Vers le calcul final :

La probabilité d'obtenir un double 7 avant au coup n+1 est :


Il suffit de sommer cette expression de n=1 à l'infini et ça donne

En remplaçant par les valeurs :
m=6/36
p=5/36
o=20/36

On obtient : 72/121 - 9/64 ou encore 6²*(2/11² - 1/16²) = 0.454.
Or la probabilté d'obtenir un 8 et un 6 avant deux 7 est : 1-0.454=0.546 !!

Une embauche chez Microsoft

Soit k_1 l'étage auquel on lance la première boule :
- si elle casse, il faudra tester tous les étages de 1 en 1 à partir du premier, jusque, au pire, le (k_1-1)-ième.
Ainsi, on réalise dans ce cas au pire k_1 lancers.
- si elle ne casse pas, on la lance de l'étage k_1+k_2. Si elle casse, il faut tester tous les étages de 1 en 1 à partir de k+1, soit au pire on réalise au pire k_2-k_1+1 lancers (ne pas oublier le premier).

Par symétrie, le cas optimal est réalisé si k_1=k_2-k_1+1, soit k_2=k_1+(k_1-1).

Ainsi, si on lance la première fois du k-ième étage, on lancera la 2ème fois du k+(k-1) ième étage, la troisième fois du k+(k-1)+(k-2) ième etc...

Il faut déterminer k qui donne le nombre d'essais dans le pire des cas. C'est le plus petit entier tel que k+(k-1)+(k-2)+...+1>=100. D'après la formule pour calculer la somme des premiers entiers, k est le plus petit entier tel que k(k+1)/2 >=100. On trouve k=14.
Ainsi, il faut au pire 14 essais.

Pour l'anecdote, les gens chargés de l'embauche chez Microsoft proposaient de lancer la première fois du 10ème étage, la 2nde fois du 20ème, etc... Dans le pire des cas, cela fait 19 essais!

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