Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur!

• N objets ont toujours la même couleur!
• Il faut 3 pesées pour trouver la pièce la plus légère parmi 1000!

Objets de même couleurs

  Nous allons démontrer une propriété étonnante :

Si on prend n objets, ils ont tous la même couleur! Procédons par récurrence sur n :

• Si on prend un seul objet, il n'y a rien à prouver.
• Supposons la propriété vraie au rang n-1, et prouvons-la au rang n. On considère donc n objets, que l'on numérote de 1 à n. On forme un premier tas constitué des objets 1 à n-1. Il y a n-1 objets : par hypothèse de récurrence, ils sont de la même couleur. On forme ensuite un second tas constitué des objets 2 à n. De même, ils ont tous la même couleur. Comme l'objet numéro 2 appartient aux deux tas, les couleurs du 1er et du 2nd tas sont identiques : tous les objets ont la même couleur!

Bien sûr, quelque-chose ne va pas. Mais quoi exactement?

Trois pesées!

Ce paradoxe s'inspire d'un article de J.P.Delahaye, publié dans les Nouvelles d'Archimède, publication de l'Université de Lille 1.
  Nous allons démontrer que lorsque n pièces de monnaies, avec n supérieur à 2, d'apparences identiques sont données, avec une plus légère que les autres, alors il suffit de 3 pesées sur une balance à 2 plateaux pour identifier la plus légère. Lorsque n=2, c'est facile! On place une pièce sur chaque plateau de la balance, l'équilibre ne se fait pas car par hypothèse une des pièces est plus légère, et cette pesée permet de la déterminer.

  On suppose maintenant que l'on connait une procédure utilisant au plus 3 pesées pour n pièces, et montrons comment en obtenir une pour n+1 pièces. Donnons-nous (n+1) pièces dont l'une est plus légère que les autres (qui, elles, ont toutes un poids identique). Nous mettons à part l'une des pièces, et appliquons la procédure donnée par l'hypothèse de récurrence pour les n pièces restantes. Si cette procédure fonctionne, on connait la pièce la plus légère, sinon, c'est celle qu'on a mis à part qui est la plus légère...

  Pensez-vous qu'il est vraiment possible de déterminer parmi 1 million de pièces la plus légère en simplement 3 pesées. Il doit y avoir une erreur, mais où est-elle???

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