$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

  Les énigmes suivantes sont le plus souvent basées sur des raisonnements mathématiques fondamentaux. Saurez-vous convenablement les appliquer?
51 points
  On place 51 points au hasard dans un un carré de coté 7 cm. Y-a-t'il toujours un cercle de rayon 1 cm qui contienne au moins 3 de ces points ?

Enigme postée par Totomm sur le forum

La chevelure des parisiennes
  Le nombre de cheveux d'une femme ne dépasse jamais 400 000. Parmi les 1 500 000 parisiennes, est-on sûr qu'il y en a qui aient le même nombre de cheveux. Si oui, combien???

La course à handicap
  Quand Nérosson était jeune et beau, il pratiquait volontiers la course à pied. Sa distance favorite était le 400 m, sans haie. Un jour d'entrainement, au stade d'Annemasse, son regard croisa celui d'une très jolie jeune fille, qui s'entrainait aussi sur la même distance. Ce fut le coup de foudre.

D'un naturel farouche et ombrageux, on vit le beau Nérosson se rapprocher tout sourire déployé vers la gazelle et lui proposer une course à handicap qu'elle ne pouvait que remporter. Si d'aventure elle perdait, elle s'obligeait à dîner avec lui. Un premier tour de piste de 400 m devait permettre de mesurer l'écart de performance dû à leur différence physiologique intrinsèque. Ensuite, il était convenu qu'ils referaient une course, dans les mêmes conditions de vitesse, Nérosson devant parcourir une distance égale à 400 + un handicap égal à la distance les séparant à l'issue du premier tour.

  C'est comme cela que Virginie tomba en admiration devant celui qu'elle épousa ensuite en justes noces. En effet, au premier tour, quand Nérosson franchit la ligne d'arrivée, Virginie avait parcouru 385 mètres. Au second tour, Nérosson partit 15 mètres derrière Virginie (pour qu'elle puisse ensuite dire "qu'il lui avait couru après" !!!), et ... gagna et la course, et le coeur de la jeune fille. Ce n'est que beaucoup plus tard que Virginie comprit qu'à vaincre sans péril, on triomphe sans gloire !. Pourquoi ?

Les poignées de mains
  D'anciens élèves d'une grande école se retrouvent dans une soirée au cours de laquelle les poignées de main sont échangées au hasard des rencontres. Sachant que l'on ne peut pas serrer deux fois la main à une personne, montrer qu'à tout instant de cette soirée, il y a toujours au moins deux personnes qui ont donné le même nombre de poignées de mains.

La 3ème guerre mondiale
  La 3è guerre mondiale vient de se terminer. Les frontières sont redessinées, des pays disparaissent, de nouveaux se créent. Mais sauriez-vous prouver qu'il y aura toujours deux pays qui auront le même nombre de voisins. Je précise que deux pays sont voisins s'ils ont une frontière (terrestre) commune.

Le forain
  Il y a fort longtemps, à Paris, un forain proposait aux badauds le pari suivant : il s'engageait à trouver en moins d'une minute deux sous ensembles disjoints (mais pas nécessairement exhaustifs) de nombres parmi 10 dont la somme des termes de chacun des sous ensemble était de même valeur. Les 10 nombres, tous distincts, étaient choisis par le badaud parmi les 100 nombres entiers compris entre 1 et 100. Le badaud pouvait miser jusqu'à 100 euros. Si le forain échouait, il versait au joueur 10 fois sa mise.

  Le forain cessa le jour où Nerosson écouta le camelot, réfléchit quelques minutes, puis lui proposa d'inverser le jeu : à lui de relever le défi, au camelot de choisir les numéros et de miser. Sauriez-vous dire pourquoi ?

Un exemple :
  • le badaud choisit les nombres : {4, 12, 25, 32, 49, 51, 69, 70, 85, 99}
  • le forain trouve : {12,49} et {4,25,32} car 49+12= 32+25+4
Enigme postée par Freddy sur le forum

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