Erreurs de raisonnement!

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  Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur dans les raisonnements ci-dessous!
Tous les objets ont la même couleur
  Nous allons démontrer une propriété étonnante :
Si on prend n objets, ils ont tous la même couleur!
Procédons par récurrence sur n :
  • Si on prend un seul objet, il n'y a rien à prouver.
  • Supposons la propriété vraie au rang n-1, et prouvons-la au rang n. On considère donc n objets, que l'on numérote de 1 à n. On forme un premier tas constitué des objets 1 à n-1. Il y a n-1 objets : par hypothèse de récurrence, ils sont de la même couleur. On forme ensuite un second tas constitué des objets 2 à n. De même, ils ont tous la même couleur. Comme l'objet numéro 2 appartient aux deux tas, les couleurs du 1er et du 2nd tas sont identiques : tous les objets ont la même couleur!
Bien sûr, quelque-chose ne va pas. Mais quoi?


Tous les objets ont la même couleur
Ce paradoxe s'inspire d'un article de J.P.Delahaye, publié dans les Nouvelles d'Archimède, publication de l'Université de Lille 1.
  Nous allons démontrer que lorsque n pièces de monnaies, avec n supérieur à 2, d'apparences identiques sont données, avec une plus légère que les autres, alors il suffit de 3 pesées sur une balance à 2 plateaux pour identifier la plus légère. Lorsque n=2, c'est facile! On place une pièce sur chaque plateau de la balance, l'équilibre ne se fait pas car par hypothèse une des pièces est plus légère, et cette pesée permet de la déterminer.

  On suppose maintenant que l'on connait une procédure utilisant au plus 3 pesées pour n pièces, et montrons comment en obtenir une pour n+1 pièces. Donnons-nous (n+1) pièces dont l'une est plus légère que les autres (qui, elles, ont toutes un poids identique). Nous mettons à part l'une des pièces, et appliquons la procédure donnée par l'hypothèse de récurrence pour les n pièces restantes. Si cette procédure fonctionne, on connait la pièce la plus légère, sinon, c'est celle qu'on a mis à part qui est la plus légère...

  Pensez-vous qu'il est vraiment possible de déterminer parmi 1 million de pièces la plus légère en simplement 3 pesées. Il doit y avoir une erreur, mais où est-elle???


Le devoir impossible!
  Nous sommes Samedi.
Le prof annonce à sa classe : " DS de Maths la semaine prochaine ! ".
Le choeur des pleureuses : " Oh, non ! "
Le prof, magnanime : " Et bien si vous arriver à déterminer avec certitude le jour de ce DS, je ne le vous donnerai pas ! "
Aussitôt, un petit malin se lève et dit :
" Monsieur, vous ne nous poserez jamais ce DS."
" En effet, samedi, c'est impossible, vu que le vendredi, on saura que c'est pour le lendemain ! "
Exit le samedi...
" En conséquence, il ne reste plus que lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi...>
" Mais, vendredi est aussi un jour impossible, puisque le jeudi, nous saurions que c'est pour le lendemain ! " Exit le vendredi.
" Ainsi, de proche en proche, il est impossible que vous nous posiez le DS. "
Quelle est la faille dans le raisonnement?


Tous les polynômes sont constants
  Voici une preuve d'un résultat très classique : "tous les polynômes sont constants". On va plus précisément démontrer par récurrence sur $n$ que toutes sont les fonctions $x\mapsto x^n$ sont constantes.
  1. C'est vrai si $n=0$, car $x^0=1$.
  2. Supposons la propriété vraie pour $n=0,1,…,k$, c'est-à-dire que la dérivée de la fonction $x\mapsto x^n$ est nulle, et établissons-la pour $k+1$. D'après la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'=u'v+uv'$, on a $(x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'x^k+x(x^k)'=0$ (on utilise l'hypothèse de récurrence à la fois pour $n=1$ et $n=k$).
Nous avons donc prouvé que la fonction $x\mapsto x^{k+1}$ est constante, ce qui achève la récurrence.

  Alors, où est l'erreur?


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