$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

  Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur dans ces démonstrations de géométrie!
Tout triangle est isocèle
  Observez bien le triangle ABC suivant :
Il ne fait guère de doutes que ce triangle est quelconque. Laissez moi pourtant vous démontrer qu'il est isocèle en A....

  Pour commencer, nous considérons la bissectrice issue de A, et la médiatrice de [BC]. Elles se coupent en un point K. Soit M le projeté orthogonal de K sur [AB], et N le projeté orthogonal de K sur [BC]. Les propriétés de la bissectrice assurent que KM=KN. Nous appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle AMK, rectangle en M : AK2=MK2+AM2. De même, dans le triangle ANK, AK2=KN2+AN2. Finalement, tout ceci donne AM=AN.

  Nous exploitons maintenant le fait que K est sur la médiatrice de [BC]. Nous avons : KB=KC. Rappelons-nous que MK=NK, et appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle KBM, puis dans le triangle KBN. Nous trouvons finalement que MB=NC.

  Il est alors temps de conclure... Nous avons AB=AM+MB=AN+NC=AC. Le triangle est isocèle en A.

Dans un trapèze, la somme des longueurs des côtés parallèles est nulle
  On considère un trapèze ABCD, de côtés parallèles (AB) et (CD). On désigne par p la longueur AB, et par q la longueur CD. On prolonge DC d'une longueur p, jusque F, et BA d'une longueur q jusque E (voir la figure). On mène les segments EF, DB et AC. H est le point d'intersection de DB et AC, G le point d'intersection de AC et EF. On pose r=AG, s=GH, t=HC.
On applique le théorème de Thalès aux 2 triangles HDC et HAB, qui ont (DB) et (AC) comme côtés communs :
De même, en appliquant le théorème de Thalès dans les triangles EAG et FGC :
Il en résulte que :
En effet,
Maintenant, on conclut que :
ou encore :
Ainsi, nous venons de prouver que dans un trapèze, la somme des longueurs des côtés parallèles est nulle. Alors, où est l'erreur???

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