$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

  Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur!
Pour tout entier naturel n=n+1
  Nous commençons par écrire une identité remarquable bien connue :
On soustrait 2n+1 à chacun de ces deux membres :
Puis on soustrait encore n(2n+1) à ces deux membres, et on ajoute (2n+1)2/4 :
Les 2 membres sont désormais des carrés parfaits, et peuvent s'écrire :
On prend la racine carré de chacun des membres :
En ajoutant (2n+1)/2, on trouve :
Alors, où est l'erreur???

1/8>1/4
  Rappelons la propriété suivante des logarithmes, qui sera utile dans la suite : si x est un réel positif, et n un entier :
On part de l'inégalité :
On la multiplie par ln(1/2) :
Avec le rappel, on obtient :
Maintenant, le logarithme est une fonction croissante, et donc :
On obtient finalement :
Alors, où est l'erreur???

Toute série converge vers $\pi$
Rappelons qu'une série est une somme infinie de nombres :
Prouvons l'énoncé précédent. On a en effet :
  • et ainsi de suite...
En ajoutant toutes ces égalités, on obtient l'égalité suivante :
En regroupant les termes à droite (le 2ème et le 3ème, le 4ème et le 5ème,...), on obtient :
Etonnant non? Mais il y a encore plus fort! Si on choisit une série où a2=a3=...=0, on obtient :
Tout nombre réel est égal à pi! Cette fois, c'est sûr, il y a une erreur! Mais où est-elle???

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