Egalités étranges!

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  Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur!
Pour tout entier naturel n=n+1
  Nous commençons par écrire une identité remarquable bien connue :
On soustrait 2n+1 à chacun de ces deux membres :
Puis on soustrait encore n(2n+1) à ces deux membres, et on ajoute (2n+1)2/4 :
Les 2 membres sont désormais des carrés parfaits, et peuvent s'écrire :
On prend la racine carré de chacun des membres :
En ajoutant (2n+1)/2, on trouve :
Alors, où est l'erreur???


1/8>1/4
  Rappelons la propriété suivante des logarithmes, qui sera utile dans la suite : si x est un réel positif, et n un entier :
On part de l'inégalité :
On la multiplie par ln(1/2) :
Avec le rappel, on obtient :
Maintenant, le logarithme est une fonction croissante, et donc :
On obtient finalement :
Alors, où est l'erreur???


Toute série converge vers $\pi$
Rappelons qu'une série est une somme infinie de nombres :
Prouvons l'énoncé précédent. On a en effet :
  • et ainsi de suite...
En ajoutant toutes ces égalités, on obtient l'égalité suivante :
En regroupant les termes à droite (le 2ème et le 3ème, le 4ème et le 5ème,...), on obtient :
Etonnant non? Mais il y a encore plus fort! Si on choisit une série où a2=a3=...=0, on obtient :
Tout nombre réel est égal à pi! Cette fois, c'est sûr, il y a une erreur! Mais où est-elle???


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