Cryptarithmes
Un cryptarithme est une opération mathématique dans laquelle les chiffres ont été remplacés par des lettres, et vérifiant les règles suivantes :- un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
- une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
- aucun nombre ne peut commencer par un zéro;
Cryptarithme de jeu de cartes
DAME+DAME+DAME+DAME=CARRE.
Le chiffre des unités donne déjà $E=0$. On remarque aussi que $R$ est nécessairement pair.
De plus, la retenue de $4M$ doit être pair, puisque si on note cette retenue $r$, $4A+r$ est pair.
Ainsi, $4M$ doit être compris entre 0 et 8, ou entre 20 et 28. Cela laisse quelques possibilités pour $M$.
Finalement, la solution est donc $4970+4970+4970+4970=19880$.
- $M=0$, mais c'est impossible puisque $E=0$.
- $M=1$, qui donne $R=4$. On a alors $A=6$, et le chiffre des unités de $4D+2$ vaut $6$. Ceci n'est possible que si $D=1$ (impossible car $M=1$) ou si $D=6$ (impossible car $A=6$). Ce cas ne donne pas de solutions.
- $M=2$, ce qui donne $R=8$. Dans ce cas, on a forcément $A=7$ et donc le chiffre des unités de $2+4D$ doit être égal à $7$. Ce n'est pas possible!
- $M=5$, qui donne $R=0$ : non!
- $M=6$, qui donne $R=4$, puis $A=3$ ou $A=8$. Mais $A=3$ donne $D=3$ ou $D=8$. Le premier cas est impossible et le second donne $C=3$, impossible puisque $A=3$. Le cas $A=8$ donne que le chiffre des unités de $4D+3$ est pair, ce qui n'est pas possible.
- Il reste le cas $M=7$, et on vérifie par un raisonnement tout à fait similaire aux précédents qu'il ne peut conduire qu'à une solution, avec $R=8$, $A=9$, $D=4$ et $C=1$.
Cryptarithme musical
Les 3 équations suivantes sont à traiter ensemble :
RE + MI = FADO + SI = MI
LA + SI = SOL
L'équation LA + SI = SOL donne S = 1. L'équation DO + SI = MI donne O=0.
L'équation LA + 1I = 1OL implique que L vaut 8 ou 9.
Mais si L=8, on doit avoir A+I=18 pour avoir une retenue, ce qui est impossible. On a donc L=9.
Il vient alors A+I=9, et aussi de D0+1I=MI, on a D+M=1.
On discute alors les valeurs de A :
Il reste donc la solution A=3, qui donne I=6 et E=7. On trouve alors une solution (unique)
avec R = 2, D = 4, M = 5, F = 8.
Donc, l'unique solution est S = 1, R = 2, A = 3, D = 4, M = 5, I = 6, E = 7, F = 8, L = 9, O = 0, ce qui donne :
27 + 56 = 83
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109
- A ne peut pas être 0, 1, ou 9, qui sont déjà utilisés.
- A ne peut pas être 8, sinon I serait égal à 1, qui est déjà utilisé.
- A ne peut pas être 6, sinon I serait égal à 3, et RE+MI=FA donnerait aussi E=3.
- A ne peut pas être 5, sinon I serait égal à 4, et alors E serait égal à 1, qui est utilisé.
- A ne peut pas être 4, sinon I serait égal à 5, et alors E serait égal à 9, qui est déjà utilisé.
- A ne peut pas être 7, sinon I serait égal à 2 et E serait égal à 5. Mais RE+MI=FA donnerait alors R+M=F, ce qui ne peut pas être réalisé puisque R,M,F doivent être éléments de 3,4,6,8.
- A ne peut pas être 2, sinon I serait égal à 7 et E serait égal à 5. Il faudrait alors (RE+MI=FA) que R+M+1=F avec R,M,F dans 3,5,6,8 : impossible.
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109
Cryptarithme animal
LIONNE+TIGRE=TIGRON
Commençons par la propriété que l'on peut déduire à coup sûr. D'abord, on remarque que N est pair.
Ensuite, on sait que T=L+1, et que $I+T\geq 10$ pour qu'il y ait une retenue.
En même temps, on doit avor $I+T=I$ ou $I+T+1=I+10$ (cas où il y a une retenue).
Puisque $T$ ne peut pas être nul, on a donc
$$T=9\textrm{ et }L=8\textrm{ et }N\in\{0,2,4,6\}.$$
Par ailleurs, $O+I$ doit être supérieur ou égal à 10 pour engendrer une retenue,
et donc, puisqu'ils sont tous deux inférieur ou égal à $7$, on a
$$O\geq 3\textrm{ et }I\geq 3\textrm{ et }G\leq 4.$$
On va maintenant discuter suivant les valeurs possibles de $N$ et de $E$.
Finalement, on vient de prouver que la seule solution est $867221+96351=963572$.
- Si $N=2$ et $E=6$, alors on a $3+R=O$ (rappelons que $O$ ne peut pas être nul, et que $R\leq 7$), puis $2+G=R$ et $O+I=10+G$. On en déduit que $I=5$, puis en résolvant les 3 dernières équations, que $G=5$ et $O=6$, ce qui est impossible puisqu'on a déjà $E=6$.
- Si $N=2$ et $E=1$, alors on a $2+R=O$, $2+G=R$ et $O+I=10+G$, et donc $I=6$, $G=3$, $R=5$ et $O=7$. Ceci donne la solution $867221+96351=963572$.
- Si $N=4$ et $E=2$, alors on a $4+R=O$ (rappelons qu'on doit toujours avoir $O\geq 3$), puis $R=4+G$ et $10+G=O+I$. On en déduit que $I=2$, impossible!
- Si $N=4$ et $E=7$, alors on a $O=5+R$, $R=5+G$ et donc $O=10+G$, impossible!
- Si $N=6$ et $E=3$, alors on peut avoir $O=6+R$, et donc $R\leq 1$. Dans ce cas, on doit avoir $10+R=6+G$ et comme $G\leq 4$, on en déduit $R=0$ et $O=6$, impossible. On peut aussi avoir $10+O=6+R$, et comme $O\geq 3$ et $R\leq 7$, on en déduit que $O=3$ et $R=7$. Mais c'est impossible, car on a déjà $E=3$.
Cryptarithme anglais
On le sait tous déjà, mais TEN+TEN+FORTY=SIXTY.
Les seules valeurs possibles pour N sont N=0 ou N=5. Commençons par
envisager le cas N=0. Dans ce cas, E=5 et on doit avoir (il y a une retenue) : 1+T+T+FOR=SIX.
On tire de cela beaucoup d'informations. D'abord, puisque tous les chiffres sont différents,
on doit avoir $S=F+1$. De plus, O+une éventuelle retenue soit supérieure ou égale à 10, pour qu'il y ait une retenue
dans la dernière colonne. Ainsi, on ne peut avoir que $O=8$ et $1+T+T+R\geq 20$ ou $O=9$ et $10\leq 1+T+T+R$.
Le premier cas est impossible, sinon on aurait $I=0$ ce qui est impossible puisqu'on a déjà $N=0$. Donc
on a forcément $O=9$ et de même, on a forcément $1+T+T+R\geq 20$ et $I=1$. Puisque $R\leq 7$, on doit avoir $T\geq 6$
et on envisage tous les cas possibles.
Le cas $N=5$ est lui très facile. En effet, il entraîne une retenue égale à 1 sur la deuxième colonne, et $T+2E+1$ est de parité opposée
à $T$, ce qui est incompatible avec le résultat de l'opération.
snbsp;Finalement, la solution est donc $850+850+29786=31486$.
- $T=6$, alors $R=8$ et $X=1$ : non car $I=1$.
- $T=7$ alors $R\geq 6$ et $R\neq 5,7,9\implies R=8$ et donc $X=3$. Mais $F,S$ sont des entiers consécutifs, et il ne reste plus de place car les entiers disponibles sont $2,4,6$.
- $T=8$, on sait que $R\geq 4$ et on peut étudier tous les cas possibles pour $R$. Assez rapidement, on voit que le seul cas possible est $R=7$, qu donne $X=4$, puis $F=2$ et $S=3$ (deux derniers entiers consécutifs disponibles), et $Y=6$, dernière valeur disponible.
- $T=9$ est impossible car on a déjà $O=9$.
Cryptarithme espagnol
Je ne vous apprendrai pas que 4+4+4+4+4=20. Mais ceci est aussi vrai en espagnol :
CUARTO+CUARTO+CUARTO+CUARTO+CUARTO=VEINTE.
Puisque CUARTO et VEINTE ont le même nombre de chiffres, et que CUARTO ne commence pas par 0, il est nécessaire
que C=1 et donc $V\geq 5$. On peut ensuite facilement déterminer E et A. Le chiffre des unités nous dit que E=0 ou E=5.
Regardons désormais la deuxième colonne. Puisque E=0 ou 5, 5U+retenue issue de la colonne précédente doit être un multiple de 5.
Mais cette retenue doit être comprise entre 0 et 4. Ceci n'est possible que si A=0 ou si A=1, mais ce dernier cas
est impossible puisque on sait déjà que C=1. Ainsi, A=0 et E=5. De plus, on en déduit que O et U sont
impairs, et aussi que $V\geq 6$ (il y a une retenue pour le calcul de la première colonne).
Observons maintenant la troisième colonne. On doit avoir $I\geq 3$ et $T\geq 4$ car il y a forcément une retenue
au moins égale à 2. Ainsi, on a $I=2,3$ ou 4. On envisage tous les cas possibles.
Finalement, la solution est donc $170649×5 =853245$.
- I=2, alors T=4 et O=9. R doit être pair, et il ne reste plus comme possibilité que R=6 ou R=8. R=6 convient et donne N=0, U=7 et V=8. R=8 donne N=T=4 est un cas à écarter.
- I=3, alors T=6 ou 7 et l'analyse des deux dernières colonnes donne que 5R se termine par 5 puis que O=3 ou 5 pour pouvoir avoir T=6 ou 7. Mais ces deux valeurs sont déjà choisies, c'est impossible.
- I=4, alors T=8 ou 9. Si T=8, alors O=7. Il reste pour R les valeurs 3, qui donne N=1, impossible, ou R=9, qui donne encore N=4, ce qui est toujours impossible. Si T=9, alors O=9, impossible!
Cryptarithme à boire
COCA+COLA=OASIS
D'après le Bulletin de l'APMEP n°529
On remarque d'abord que OASIS<20000, et donc que O=1. Ensuite on a
En résumé, on a 8186+8106=16292.
- S est pair : en effet, S=A+A ou S=A+A-10.
- La lecture du chiffre des centaines montre que O+O=S, ou O+O+1=S, suivant que l'addition des dizaines a donné une retenue ou non. Ainsi, S=2 ou S=3. Comme S est pair, on a S=2.
- si on retourne au chiffre des unités, on a donc A+A=2 ou A+A=12. Le premier cas est à exclure, puisque A ne peut être égal à 1. Donc A=6.
- en étudiant le chiffre des miliers, on voit que C+C=16, et donc C=8.
- enfin, en étudiant le chiffre des dizaines, 8+L+1 ne peut pas avoir de retenue et donc L=0 ce qui donne I=9.
Cryptarithme additif
Est-il vrai que UN+UN+NEUF=ONZE?- Puisque ONZE>NEUF, on a $O\geq N+1$. Puisque UN+UN<200, on a nécessairement O=N+1.
- on a UN+UN<200, et EUF+UN+UN=1000+NZE>1100 (N ne peut pas être égal à 0 puisqu'il commence le nombre NEUF). Ainsi, on a nécessairement E=9. Mais, toujours en utilisant les inégalités précédentes et les reports possibles de retenue, on ne peut avoir que N=1 (sinon 1000+NZE serait trop grand), et donc O=1.
- Le chiffre des unités donne ensuite F=7.
- Avec le chiffre des dizaines et des centaines, on a U+U+U=Z et 19+0=21 (impossible), ou bien U+U+U=U+10 et 19+1=21 (impossible), ou bien U+U+U=Z+20 et 19+2=21 (possible!). U est donc égal à 7,8 ou 9. Mais 9 est déjà pris, et si U=7, alors Z=1 qui est déjà pris. Donc U=8 et Z=4.
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