Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur!

• Pour tout entier n, n=n+1
• 1/8>1/4
• Toute série converge vers pi.

Pour tout entier n, n=n+1.

  Nous commençons par écrire une identité remarquable bien connue :

On soustrait 2n+1 à chacun de ces deux membres : Puis on soustrait encore n(2n+1) à ces deux membres, et on ajoute (2n+1)²/4 : Les 2 membres sont désormais des carrés parfaits, et peuvent s'écrire : On prend la racine carré de chacun des membres : En ajoutant (2n+1)/2, on trouve : Alors, où est l'erreur???

1/8>1/4

  Rappelons la propriété suivante des logarithmes, qui sera utile dans la suite : si x est un réel positif, et n un entier : On part de l'inégalité : On la multiplie par ln(1/2) : Avec le rappel, on obtient : Maintenant, le logarithme est une fonction croissante, et donc : On obtient finalement : Alors, où est l'erreur???

Toute série converge vers pi!

  Le nombre pi est vraiment central en mathématiques. Tenez, voici une propriété que vous ne lui connaissiez peut-être pas : Toute série converge vers pi. Rappelons qu'une série est une somme infinie de nombres : Prouvons l'énoncé précédent. On a en effet :

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• et ainsi de suite...

En ajoutant toutes ces égalités, on obtient l'égalité suivante : En regroupant les termes à droite (le 2ème et le 3ème, le 4ème et le 5ème,...), on obtient : Etonnant non? Mais il y a encore plus fort! Si on choisit une série où a₂=a₃=...=0, on obtient : Tout nombre réel est égal à pi! Cette fois, c'est sûr, il y a une erreur! Mais où est-elle???

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