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A la recherche de la plus courte distance!

  Ce tutoriel de prise en main de Geolabo se propose d'utiliser le logiciel pour conjecturer une propriété géométrique. Il est préférable d'avoir déjà suivi le premier tutoriel de prise en main concernant l'angle au centre avant de suivre celui-ci.

  On se place dans un repère orthonormé du plan, et on considère A de coordonnées (-2,1) et B de coordonnées (3,2). Soit M un point situé sur l'axe des abscisses. Quelle est la position du point M pour que AM+BM soit le plus petit possible?

Préparation
  On commence par préparer la construction. Allez d'abord dans le menu Edition, et choisissez l'option Préférences de construction. Une fenêtre de dialogue s'affiche, où l'on peut paramétrer la façon dont Geolabo se comporte pour construire des objets. Cliquez dans la case à côté de Nommage automatique des points, de sorte que cette case ne soit pas cochée. Tous les objets dans Geolabo possède un nom. Par défaut, Geolabo nomme automatiquement les objets (les points sont nommés dans l'ordre A,B,...). C'est très pratique pour réaliser des constructions rapides, notamment si on ne souhaite pas que le nom des points apparaisse à l'écran. Dans notre cas, pour éviter de devoir renommer des points sitôt créés, on demande à préciser nous-même le nom des points.

  C'est aussi le moment de choisir l'aspect des points dans la barre d'attributs à gauche. En particulier, demandez à ce que le nom des points apparaisse (cf ce tutoriel).

Construction de la figure
  On commence par créer les points A et B. Ce sont des points à coordonnée fixe, appelés points repérés dans Geolabo. Vérifiez que l'option "Créer" est bien choisie dans le menu Action, puis choisissez l'option Point repéré dans le menu "Objet". Une boite de dialogue s'affiche, demandant les coordonnées du point (ici, (-2,1)), et le nom du point. Renseignez-là de sorte de créer A. En choisissant à nouveau l'option Point repéré du menu Objet, créez le point B, de coordonnées (3,2).

  On va maintenant faire apparaitre les axes de coordonnées (ils sont définis automatiquement sous Geolabo). Pour cela, il suffit de cliquer sur l'icone dans la barre d'outils. Plaçons un point mobile M sur l'axe des abscisses. L'objet à sélectionner est cette fois "Point magique", et il suffit de cliquer suffisamment près de l'axe des abscisses pour créer un point sur cet axe (Geolabo vous demande le nom du point, rentrez M). On va maintenant tracer les segments [AM] et [BM]. On choisit l'objet Segment dans le menu Objet/Droites, puis on crée le segment [AM] soit en cliquant successivement sur A, puis sur M, soit en désignant ces deux points dans le menu Rappels. On fait de même pour créer [BM].

  C'est maintenant le morceau de choix : on va faire afficher à l'écran la quantité AM+BM. Ceci s'appelle sous Geolabo une observation. Choisissez dans le menu "Action" le sous-menu "Observer", puis à l'intérieur de ce sous-menu choisissez "Expression". Il vous faut d'abord cliquer en un endroit où placer l'expression. Cliquer par exemple un peu sous l'axe des abscisses. Une fenêtre s'affiche, vous demandant la valeur de l'expression. Complétez-là comme suit :
Ceci signifie que l'expression que vous observez est distance de A à M plus distance de B à M. Remarquez ainsi qu'il est possible d'utiliser des fonctions sur les objets déjà construits, comme dist(A,B). La liste des fonctions disponibles sous Geolabo se situe dans l'aide en ligne du logiciel (accessible depuis le menu Aide par exemple).

  Après avoir choisi "OK" dans la boite précédente, un nombre apparait à l'écran, vous indiquant la valeur de l'expression. Choisissez maintenant "Déplacer" dans le menu "Action", puis déplacez le point M en maintenant la souris enfoncée. La valeur affichée change, et par tatonnements vous pouvez localiser le point où le minimum semble atteint.

  Cela n'est pas encore tout à fait satisfaisant. D'abord parce que l'affichage "brut" de l'expression nous laisse un peu sur notre faim. Si vous enregistrez votre figure et la réouvrez à nouveau, vous ne vous souviendrez peut-être plus de ce à quoi correspond l'expression. On va ajouter une légende à l'expression. Choisissez "Modifier" dans le menu Action, puis cliquer sur l'observation. Un cadre s'affiche autour de la valeur, ainsi qu'un petit curseur. Avec les flèches, placer le petit curseur devant la valeur, puis tapez "AB+BM=". Ceci s'affiche à l'écran avant l'observation. Cliquez sur "Terminer" pour compléter la légende.

  Deuxième chose, la valeur est affichée avec deux chiffres significatifs, ce qui peut être insuffisant pour rechercher assez précisément le minimum. On va demander à Geolabo d'afficher un plus grand nombre de chiffres significatifs. Pour cela, choisissez "Codage" dans la barre d'attributs, puis l'onglet "Observations". Rentrez le nombre de chiffres significatifs voulu, par exemple 6. Il faut encore préciser à Geolabo d'appliquer cela à l'observation déjà construite (par défaut, les modifications effectuées dans la barre d'attributs ne s'appliquent qu'aux nouveaux objets à construire). On choisit donc "Dessiner" dans le menu Action, puis on clique sur l'observation. Le nombre de chiffres affiché doit changer.

Une conjecture!
  On va utiliser Geolabo pour émettre une conjecture conccernant la position du point M pour que AM+BM soit minimal. On va d'abord créer le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses. Pour cela, il faut d'abord créer la transformation. Choisissez à nouveau "Créer" dans le menu "Action", puis "Symétrie axiale" dans le menu Objet/Transformation. Cliquez sur l'axe des abscisses. La symétrie est créée. Pour créer l'image du point B, choisissez "Transformer" dans le menu "Action". Une fenêtre de dialogue apparait vous demandant la transformation à appliquer. Ce n'est pas difficile ici, puisqu'on a créé une seule transformation. Sélectionnez-là, puis cliquez sur le point B. Nommez le point image B'.

  On va maintenant tracer le segment [AB']. Pour éviter de le confondre avec les autres, on va le dessiner en pointillés. On choisit donc un tracé en pointillés par l'intermédiaire du bouton "Lignes". Puis tracer le segment [AB] (cf précédent). Déplacer le point M. Que remarque-t-on?

  On peut terminer en utilisant une des possibilités de Geolabo. Vous pouvez remarqué que la figure ne remplit pas l'écran. Pour l'ajuster, il est possible d'utiliser les options Agrandir/Rétrécir du menu Affichage, et les ascensceurs sous et à droite de la figure. Vous pouvez aussi choisir "Cadrage automatique" dans le menu Affichage. Geolabo va tenter d'essayer seul de mettre la figure à l'échelle! Pas mal, non?

  La version définitive animée se trouve sur cette page.
email : - Geolabo - F. Bayart