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Convergence uniforme

  Geolabo est utile non seulement en géométrie, mais aussi en analyse. Voyons ici comment il peut être utilisé pour visualiser (ou conjecturer) si une suite de fonctions converge uniformément vers 0 ou non. On considère pour cela les deux suites de fonctions suivantes :


  Il est facile de vérifier que sur le segment [0,1], les suites (fn) et (gn) convergent simplement vers 0 (c'est-à-dire que pour chaque x de [0,1], fn(x) et gn(x) tendent vers 0). Mais convergent-elles uniformément vers 0?? Geolabo va nous aider!

  La première chose à faire pour représenter une suite de fonctions est probablement de créer la variable n. En prenant garde d'être en mode création (par Action/Créer), on choisit l'item Variable libre dans le sous-menu Numérique du menu Objets. Une fenêtre de dialogue s'affiche, que l'on complète de la façon suivante :

Ceci signifie que l'on crée la variable n, que l'on veut qu'elle ne prenne que des valeurs entières, qu'au moment de sa création, n=1, et que n ne peut varier qu'entre 1 et 100. Cela fait, n sera désormais reconnu dans les expressions Geolabo, et sa valeur pourra être modifiée ultérieurement.

  On crée maintenant les représentations graphiques de fn et gn. Commençons par fn. Choisissons par exemple de dessiner la courbe en vert, avec un trait assez gros. On utilise alors la barre d'attributs située à gauche de l'écran. Puis, toujours en mode Créer, on choisit Objet/Courbe/Courbe représentative. Une fenêtre de dialogue s'affiche, demandant l'équation de la courbe. On la complète comme suit :

On dit ici à Geolabo que l'on désire tracer la courbe d'équation y=sqrt(n)*x^n*(1-x), où sqrt(n) signifie racine (carrée) de n et x^n signifie x à la puissance n, pour x variant entre 0 et 1. On fait ensuite la même chose avec la courbe représentative de gn. On peut par exemple choisir de représenter cette courbe en rouge. La fenêtre de dialogue qui apparait après le choix de Objet/Courbe/Courbe représentative doit maintenant être complétée comme suit :

  Remarquons d'abord que les deux courbes sont superposées, ce qui est normal puisque f1=g1. D'autre part, les courbes apparaissent toutes petites au centre de l'écran, il faut modifier l'échelle de visualisation pour obtenir quelque chose de correct. Ceci se fait par l'intermédiaire de l'option Paramétrage du plan de travail du menu Affichage. On peut également choisir de faire apparaître les axes (par exemple en cliquant sur l'icone qui les représente).

  Il ne reste plus qu'à créer l'objet qui permet de modifier la valeur de n. Il s'agit d'un contrôle de variable que l'on crée, à l'aide par l'intermédiaire du menu Objet/Divers/Contrôle de variable graphique. Un contrôle de variable graphique est une barre muni d'un curseur qui représente la valeur de n par rapport aux restrictions qu'on lui impose. Ce curseur est déplaçable, et cela modifie la valeur de n. Une fois l'objet Contrôle de variable graphique sélectionné dans le menu Objet/Divers, il faut cliquer aux deux extrémités du contrôle de variable (les deux extrémités de la barre). La fenêtre suivante s'affiche alors :

On doit préciser la variable qui est gérée par ce contrôle de variable (ici n), le nom du contrôle de variable, et les valeurs minimales et maximales possibles.

  Il est désormais possible d'étudier les convergences de fn et gn. Il faut pour cela passer en mode "Modifier" (ce que l'on choisit à l'aide du menu Action). Il suffit ensuite de faire glisser le petit curseur (en maintenant le bouton gauche de la souris enfoncé) pour modifier la valeur de n. On voit alors clairement le phénomène apparaître. Les deux courbes présentent une bosse, qui se décale vers la gauche quand n augmente. Mais, alors que la bosse verte s'applatit vers l'axe, la bosse rouge reste à hauteur constante. Ceci signifie que la suite (fn) converge uniformément vers 0, ce qui n'est pas le cas de la suite gn.


On peut bien sûr inclure cette version définitive sur une page web, et obtenir une visualisation interactive de la convergence uniforme!
email : - Geolabo - F. Bayart