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La méthode de Newton

  La méthode de Newton est une méthode pour trouver une valeur approchée d'une solution de l'équation f(x)=0. L'idée de base est d'approcher la courbe représentative de f par sa tangente. Ainsi, si l'on part du point (x0f(x0)), l'équation de la tangente à la courbe est y=f'(x0)(x-x0)+f(x0). On peut espérer que l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec l'axe (Ox) ne soit pas très éloignée d'une solution de f(x)=0. On note x1 cette abscisse, qui vérifie

On itère ensuite le procédé, ce qui donne une suite définie par la relation de récurrence:
Sous de bonnes hypothèses pour la fonction f, la suite (xn) converge effectivement ves une solution de f(x)=0, et en plus elle converge très vite!

  Historiquement, la méthode de Newton a d'abord été appliquée par Héron d'Alexandrie à la fonction f(x)=x2-2, afin d'obtenir une valeur approchée de racine(2). Dans la figure GeoLabo suivante, les 3 premiers termes de la suite sont représentés, et vous pouvez faire varier la valeur de x0 en déplaçant le point associé. On comprend très vite pourquoi il y a convergence, et pourquoi elle est si rapide!


Vous pouvez télécharger la figure en cliquant sur ce lien avec le bouton droit et en choisissant "Enregistrer sous".

Pour plus d'informations sur la méthode de Newton, consultez cet article du DicoMaths.
email : - Geolabo - F. Bayart