Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 21-04-2008 12:41:06

Sticko
Invité

Démonstration d'une forme linéaire ou forme bilinéaire [Résolu]

Bonjour a tous je souhaiterais savoir comment montrer qu'une fonction est une forme bilinéaire ou linéaire

Je sais que pour une fome linéaire on doit montrer que f(x+y) =  f(x) + f(y) et f(lambda.x)=lambda.f(x)

et pour une forme bilineaire  il me semble que c'est f(u,x1+x2)= f(u,x1)+f(ux,2)  + une condition avec lambda dont je ne me rappelle plus
                                                                           f(x1+x2,v)= f(x1,v)+f(x2,v)

Mon problème est que je n'arrive pas a tester ces formules sur un exemple
par exemple pour la forme que je sais linéaire suivante f(x,y) = x+y
et la forme bilineaire suivante B(u,v) =xy' pour u=(x,y) et v=(x',y')

merci par avance de vos reponses

#2 21-04-2008 14:46:11

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Démonstration d'une forme linéaire ou forme bilinéaire [Résolu]

Hello,
bilinéaire, ça veut simplement dire : linéaire sur chacune des deux composantes.
tu peux donc tout simplement appliquer ta définition de linéarité aux deux fonctions suivante :
    [tex]f(x, . )\,:\,y \rightarrow f(x,y)[/tex]  à x fixé
et [tex]f( . ,y)\,:\,x \rightarrow f(x,y)[/tex]  à y fixé

Ce qui donne :
Soient [tex]\mathbb{K}[/tex] un corps et [tex]E[/tex], [tex]F[/tex] deux [tex]\mathbb{K}[/tex]-espaces vectoriels
[tex]f\,:\,E\rightarrow F[/tex] bilinéaire ssi : [tex]\forall x,x_1,x_2 \in E,\,\forall y,y_1,y_2 \in F,\,\forall\lambda \in \mathbb{K}[/tex]
[tex]f(x,y_1+y_2) = f(x,y_1)+f(x,y_2)[/tex] et [tex]f(x,\lambda y)=\lambda f(x,y)[/tex]
et
[tex]f(x_1+x_2,y) = f(x_1,y)+f(x_2,y)[/tex] et [tex]f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)[/tex]
++


Barbichu

Hors ligne

#3 21-04-2008 15:00:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Démonstration d'une forme linéaire ou forme bilinéaire [Résolu]

Salut,

  Pour l'exemple que tu donnes, f(x,y)=x+y,
j'imagine que ce qui te perturbes sont les notations par rapport à la définition d'une forme linéaire.

Prenons u=(x,y) et v=(x',y').
Tu as f(u+v)=f(x+x',y+y')=x+x'+y+y'
D'autre part, f(u)+f(v)=f(x,y)+f(x',y')=x+y+x'+y'=x+x'+y+y'.

On fait exactement pareil avec la multiplication par lambda, ou pour la forme bilinéaire.

F.

Hors ligne

Pied de page des forums