Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Manu918

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fonction lipschitzienne

si qqun peut m'aider ce serait sympa :
  Montrer que la racine carrée est lipschitzienne sur tout intervalle de la forme[a;+infini[ où a>0, mais qu'elle n'est aps lipschyzienne sur tout IR+

Michaël

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Re : fonction lipschitzienne

J'écrirai r(x) pour la racine de x.
On doit chercher si il existe k>0 tq pour tous x,y dans [a,+oo[ on ait : |r(x)-r(y)|=<k|x-y|.
Alors : |r(x)-r(y)|=|x-y|/(r(x)+r(y))=<|x-y|/2r(a) on a mulitplié en haut et en bas par le conjugué et majoré. Donc sur l'intervalle considéré, la fonction est lipchitzienne de constante k=1/2r(a).
Sur l'intervalle [0,+oo[ on a, pour tout x>0 : |r(x)-r(0)|=r(x) et on ne peut pas majorer r(x) puisque x est quelconque, donc k n'existe pas.
Par l'absurde : si k>0 fini existait on aurait r(x)=<kx et donc k>=1/r(x); or 1/r(x) n'est pas bornée sur lR+ donc on ne peut pas fixer k>0.

Manu918

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Re : fonction lipschitzienne

merci beaucoup Michaël pour cette demonstration que j'aurai pas trouver si facilement; j'ai d'autres questions egalement (mais vous n'êtes pas ds l'obligation de toutes les faire bien sur) :
1. soit f une fonction k-lipschitzienne et  g une fonction m-lipshitzienne; montrer que f rond g est km-lipschitzienne;
2.soit a,b et c 3 reels tq a<b<c et f une fonction definie sur [a;c]. Montrer que si f est k-lipschitzienne sur [a,b] et [b,c] alors f est k-lipschitzienne sur [a,c];
3.Montrer que le resultat precedent n'est plus vrai si l'on suppose seuelemnt que f est k-lipschitzienne sur [a,b] et ]b,c].
4.donner un exemple de fonction lipshitzienne et bijective dt la reciproque n'est pas lipschitzienne.
5.Soit f:[0;+oo[ -->IR une fonction lipschitzienne; Montrer que x-->f(x)/x est bornée sur [1;+oo[. en deduire que les fonctions x-->x² et x-->exp(x) ne sont pas lipschitziennes sur [0;+oo[.
6. Montrer que le produit de 2 fonctions lipschitziennes n'est pas nécessairement lipschitzienne ( on donnera un contre exemple)
7.Montrer que si f et g sont 2 fonctions lipschitziennes et BORNEES sur un intervalle I, le produit fg est lipshitzien sur I.

Michaël

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Re : fonction lipschitzienne

1.|f(g(x))-f(g(y))|=<k|g(x)-g(y)|=<k(m|x-y|)=km|x-y|
2. me semble évident
3. Pour x et y dans [a,b] ou ]b,c] pas de problème. Pour x dans ]b,c] et y dans [a,b] on a |f(x)-f(y)|=|f(x)-f(b)+f(b)-f(y)|=<|f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|=<k|y-b|+|f(x)-f(b)| et on ne sait pas majorer cette dernière expression puisque f est lipschitzienne sur ]b,c].
4. à chercher
5. Montrer (en utilisant la définition sûrement) que f lip sur [0,+oo[ implique f(x)/x bornée sur [1,+oo[. Les fonctions proposées ne sont donc pas lipschitziennes puisque x et exp(x)/x sont non bornées sur [1,+oo[ (c'est le raisonnement par contraposée).
6. à chercher
7. On suppose que f est bornée par M et g par N et k et p lipschitziennes respectivement, alors :
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)|=|f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))|=<|f(x)||g(x)-g(y)|+|g(y)||f(x)-f(y)|=<Mk|x-y|+Np|x-y|=(Mk+Np)|x-y| donc fg est lipschitzienne de constante Mk+Np.

Voilà, je n'ai plus le temps, je dois partir, mais j'ai déjà été gentil.

Michaël

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Re : fonction lipschitzienne

Désolé pour ces machins jaunes, ils viennent sans mon consentement.

Manu918

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Re : fonction lipschitzienne

encore merci mickael

Manu918

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Re : fonction lipschitzienne

si y'en a d'autre qui veulent aussi m'aider sur ces questions et donner leur demonstrations alors n'hesiter pas!

YALDA

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Re : fonction lipschitzienne

BONSOIR, moi j'aimerais bien que quelqu'un m'explique  c'est quoi une fonction lipschitzienne.
Et aussi m'expliquer  c'est quoi une constante de Lipschitz. voila merci