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#1 08-04-2021 15:01:42

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 15

Série de Dirichlet, produit de familles sommables

Bonjour tout le monde !

Dans une démonstration de mon cours, je bloque sur une égalité que voici:

On pose $S := \{ p_1, \ldots, p_l \}$ avec $p \in \mathbb{P}$ et $l \in
\mathbb{N}$, un ensemble de nombres premiers, et $\displaystyle N (S) : = \left\{ \prod_{i = 1}^l p_i^{k_i} | k_i \in \mathbb{N} \right\}$,
On a $g : \mathbb{N}$*$\rightarrow \mathbb{C}$, multiplicative et bornée,
et on pose $s \in \mathbb{C}$ avec $\Re (s) > 1$.

Je dois montrer que $\displaystyle \prod_{p \in S} \sum_{k \geqslant 0} \frac{g(p^k)}{p^{ks}} = \sum_{k_i \in \mathbb{N}\\i = 1,..., l} \prod_{i = 1}^l \frac{g (p_i^{k_i})}{p^{k_i s}} = \sum_{n \in N (S)} \frac{g (n)}{n^s}$.

Pour la seconde égalité, ça va, mais c'est la première qui m'embête.
Alors, j'ai montré que le membre de gauche est égal à $\displaystyle \prod_{i = 1}^{l} \sum_{k \geqslant 0} \frac{g (p^{k_i})}{p^{k_i s}}$ (tu parles d'un scoop...), mais je galère vraiment à aller plus loin. D'un côté, ça me parait évident vu la forme que ça a, mais on me donne comme justification "Comme un produit fini de familles sommables est encore sommable, cela donne:" et puis l'égalité.

En vous remerciant pour le temps que vous m'accorderez !

Edit: Est-ce qu'un raisonnement de ce genre fonctionnerait:
Pour $(k_1, \ldots, k_l)$ donnée, on a
$\displaystyle \prod_{j = 1}^l \sum_{k \geqslant 0} \frac{g (p_j^k)}{p_j^{ks}} =
\prod_{j = 1}^l \left( \frac{g (p_j^k)}{p_j^{ks}} + \sum_{k \geqslant
0\\k \neq k_j} \frac{g (p_j^k)}{p_j^{ks}} \right) = \sum \prod (\ldots) +
\prod_{j = 1}^l \frac{g (p_j^{k_j})}{p_j^{k_j s}}$
donc les termes de la somme (membre de droite) sont inclus dans le développement du produit (membre de gauche, qui est du coup une somme).
Reste à faire l'inclusion réciproque du coup.

(Si vous avez une astuce pour agrandir mes formules en latex, parce que c'est très jolie, mais même moi ça me pique les yeux avec ces indices minuscules...)

Dernière modification par Zarathoustram (09-04-2021 08:03:59)

Hors ligne

#2 08-04-2021 16:13:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 735

Re : Série de Dirichlet, produit de familles sommables

Bonsoir,

Ta formule :

$\prod_{p \in S} \sum_{k \geqslant 0} \frac{g(p^k)}{p^{ks}} = \sum_{k_i \in \mathbb{N}, i = 1,..., l} \prod_{i = 1}^l \frac{g (p_i^{k_i})}{p^{k_i s}}$

Si ceci te convient :

$\prod_{p \in S} \sum_{k \geqslant 0} \dfrac{g(p^k)}{p^{ks}} = \sum_{k_i \in \mathbb{N}, i = 1,..., l} \prod_{i = 1}^l \dfrac{g (p_i^{k_i})}{p^{k_i s}}$

alors remplace simplement \frac par \dfrac...

Si ce n'est pas suffisant, alors ajoute simplement en plus la mention \displaystyle après le dollar de début

$\displaystyle \prod_{p \in S} \sum_{k \geqslant 0} \dfrac{g(p^k)}{p^{ks}} = \sum_{k_i \in \mathbb{N}, i = 1,..., l} \:\prod_{i = 1}^l \dfrac{g (p_i^{k_i})}{p^{k_i s}}$

Mais là, ça devient peut-être un peu gros ?...

@+


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Hors ligne

#3 09-04-2021 07:54:50

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 15

Re : Série de Dirichlet, produit de familles sommables

Super, merci !
Et j'aime bien le displaystyle, c'est ce qu'on a en général dans nos pdf de cours.

Hors ligne

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