Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 06-04-2021 23:05:49
- jasmin
- Invité
Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
Voila l' énonce ;
Soit E un espace vectoriel de dimension 2n sur R et {v1, v2, . . . , v2n} une base de E. On
définit une application linéaire de E dans E par :
f(Vk) = Vk+1 si k est impair
et f(Vk) = Vk−1 si k est pair.
1. Déterminer le polynôme minimal de f et en déduire que f est inversible.
2. Décomposer E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E de dimension 2.
Pour la question 1 j'ai deja determiner le polynome minimal qu'est X2-1.
mais pour la question 2 je n'arrives pas a trouver la décomposition de E qui provient des Vi, où les Ei sont stables par f, et où la restriction de f à chaque Ei a pour polynôme minimal X2−1.
#3 07-04-2021 12:45:08
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
Fred , est-ce que tu peux expliquer de plus ?pourquoi ce choix ?
#4 07-04-2021 12:51:57
- Chlore au quinoa
- Membre
- Inscription : 06-01-2021
- Messages : 305
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
Salut,
Je ne suis pas dans la brillante tête de Fred, mais je pense que l'idée lui est venue spontanément car ces espaces vectoriels sont stables par $f$. On cherche à trouver $n$ sous espaces vectoriels de $E$ de dimension $2$, et on possède une application qui en gros permute les termes de la base considérée 2 à 2. Donc se pencher sur le plus petit cycle de la permutation (donc $(v_{2k},$ $v_{2k+1})$)peut être intéressant... et ça marche pas mal en plus
Adam
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
Hors ligne
#5 07-04-2021 13:05:04
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
donc le l’espace E se décompose en :
E=∑ Ei avec Ei =vect(V2i-1;V2i )
#6 07-04-2021 13:12:58
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
à quoi ressemble la matrice de f dans une base évidente adaptée à la décomposition E=E1⊕⋯⊕En ?
#8 07-04-2021 14:20:55
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
non j'ai essaye pas mal de fois . mais j'arrives pas a la déterminer .
#10 07-04-2021 16:21:59
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
j'ai mis successivement les images de vecteurs de la base de E par f en colonne ,mais je n'arrives pas a déterminer la forme finale de la matrice
#12 07-04-2021 18:50:28
- jasmin
- Invité
Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E
c'est f(V1)=V2 ; f(V2)=V1 ; f(V3)=V4 ....