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#1 06-04-2021 21:05:49

jasmin
Invité

Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Voila l' énonce ;
Soit E un espace vectoriel de dimension 2n sur R et {v1, v2, . . . , v2n} une base de E. On
définit une application linéaire de E dans E par :
f(Vk) = Vk+1 si k est impair
et f(Vk) = Vk−1 si k est pair.
1. Déterminer le polynôme minimal de f et en déduire que f est inversible.
2. Décomposer E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E de dimension 2.

Pour la question 1 j'ai deja determiner le polynome minimal qu'est X2-1.

mais pour la question 2 je n'arrives pas a trouver la  décomposition de E qui provient des Vi, où les Ei sont stables par f, et où la restriction de f à chaque Ei a pour polynôme minimal X2−1.

#2 07-04-2021 06:02:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 908

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Bonjour

  As-tu essayé $E_i=\textrm{vect}(v_{2i-1},v_{2i})$?

F

Hors ligne

#3 07-04-2021 10:45:08

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Fred , est-ce que tu peux expliquer de plus ?pourquoi ce choix ?

#4 07-04-2021 10:51:57

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 286

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Salut,

Je ne suis pas dans la brillante tête de Fred, mais je pense que l'idée lui est venue spontanément car ces espaces vectoriels sont stables par $f$. On cherche à trouver $n$ sous espaces vectoriels de $E$ de dimension $2$, et on possède une application qui en gros permute les termes de la base considérée 2 à 2. Donc se pencher sur le plus petit cycle de la permutation (donc $(v_{2k},$ $v_{2k+1})$)peut être intéressant... et ça marche pas mal en plus

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#5 07-04-2021 11:05:04

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

donc le l’espace E se décompose en :

E=∑ Ei avec Ei =vect(V2i-1;V2i )

#6 07-04-2021 11:12:58

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

à quoi ressemble la matrice de f dans une base évidente adaptée à la décomposition E=E1⊕⋯⊕En ?

#7 07-04-2021 11:42:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 908

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Re-
 
  As-tu essayé toi-même en utilisant la définition de la matrice d'une application linéaire?

F

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#8 07-04-2021 12:20:55

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

non j'ai essaye pas mal de fois . mais j'arrives pas a la déterminer .

#9 07-04-2021 13:05:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 908

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Qu'as-tu fait exactement?

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#10 07-04-2021 14:21:59

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

j'ai mis successivement  les images de vecteurs de la base de E par f en colonne ,mais je n'arrives pas a déterminer  la forme finale de la matrice

#11 07-04-2021 15:59:00

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 908

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Que trouves-tu pour l'image du premier vecteur?

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#12 07-04-2021 16:50:28

jasmin
Invité

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

c'est  f(V1)=V2 ; f(V2)=V1 ; f(V3)=V4 ....

#13 07-04-2021 19:28:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 908

Re : Décomposition E en une somme directe de sous-espaces vectoriels de E

Donc la première colonne est $\begin{array}c 0\\1\\0\\\vdots \\0\end{array}$.

F.

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