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#1 14-03-2021 17:44:27

Bernard-maths
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Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

je vous propose une nouvelle activité géométrique, vous me direz si vous connaissez déjà ce type d'activité (ou semblable).

Heureusement pour vous, je suis très loin "d'avoir tout fait", je pense que ce domaine est infini, mais passionnant !

Je vous joins une présentation en PDF.


https://cjoint.com/doc/21_03/KCorUbEpnN … -03-14.pdf


Bonne lecture et à bientôt, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-03-2021 17:50:14)

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#2 15-03-2021 20:37:53

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonsoir à tous !

48 visites, mais pas une seule question ! Même pas Wiwaxia :)  … Ou bien c’est pénible de lire le document associé, ou bien je me suis mal pris sur l’objectif ? Ca doit être ça ! Donc je reprends en plus concret …

Je vous posais la question : si un cercle concentrique à un carré, à l'intérieur au début, se met à grandir jusqu’à atteindre puis dépasser le carré, que peut-il se passer ? … Comment faire " rayonner " le cercle en dépassement ?
Je vous joins la figure suivante : les arcs qui dépassent se transforment en « rayons » de 2 droites parallèles !

KCpuOZJrlXG_Cercle-rayonnant-6-01.jpg

On y voit le cercle rouge en pointillés, qui dépasse le carré, et une courbe verte, confondue avec le cercle rouge DANS le carré, et qui « rayonne » sur les 4 arcs rouges qui dépassent du carré ! Vu ?
Evidemment, on peut cacher le carré … et ne garder que la courbe verte !

KCpuQA0Y76G_Cercle-rayonnant-6-01-bis.jpg
(Il y a quelques traits parasites sur les images ...)

Voilà le genre de « trucs » que je vous propose de découvrir, et « bricoler » !

Demain je vous en dirai plus sur l’équation de la courbe verte …

Bonne nuit, Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (15-03-2021 20:47:06)

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#3 16-03-2021 13:18:41

Wiwaxia
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... 48 visites, mais pas une seule question ! Même pas Wiwaxia :)  …

Désolé, je n'arrive pas à suivre car j'ai par ailleurs fort à faire dans d'autres domaines; et chaque nouveau sujet abordé soulève de nouvelles difficultés spécifiques.

Bernard-maths a écrit :

... si un cercle concentrique à un carré, à l'intérieur au début, se met à grandir jusqu’à atteindre puis dépasser le carré, que peut-il se passer ? … Comment faire " rayonner " le cercle en dépassement ?
Je vous joins la figure suivante : les arcs qui dépassent se transforment en « rayons » de 2 droites parallèles !
... / ...
Évidemment, on peut cacher le carré … et ne garder que la courbe verte !

Voilà le genre de « trucs » que je vous propose de découvrir, et « bricoler » ! ...

Sachant que la fonction F(u) = (|1 + u| + |1 - u|)/2 vaut 1 sur le domaine [-1 ; +1] et |u| en dehors de celui-ci, il doit être possible de trouver une équation polaire de la forme

ρ = (1/2)(F(v) + F(w))

en convenant de poser: v = R.Sin(θ0)/Sin(θ) et w = R.Sin(θ0)/Cos(θ)
(je n'ai pas fait la vérification des ajustements).

KCqnSrh50Xx_Figures-radiales.png

S'il existe réellement des arrondis au voisinage du raccordement des parties quasi-rectilignes et quasi-circulaires, on peut envisager des équations du type

ρn = (1/2n)(F(v) + F(w))

avec cette fois: v = [R.Sin(θ0)/Sin(θ)]n , w = [R.Sin(θ0)/Cos(θ)]n et n = 4 ou 8 .

Dernière modification par Wiwaxia (16-03-2021 18:12:23)

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#4 16-03-2021 13:46:51

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour Wiwaxia, et les autres ... que j'attends !

Wiwaxia, tu me coupes l'herbe sous le pied ! ... C'est un peu pour ça que je t'invoquais ... tu sens bien les choses !
Ca va être passionnant ... car belle figure.

Mais je comprends bien que tu sois très occupé en ce moment.

Mais je suis "obligé" d'y aller doucement ...

Je vais te donner raison en parlant de la fonction génératrice de ce cercle rayonnant :

s(x) = (Abs(x+a) - Abs(x-a))/2. Et aussi en pensant aux puissances de f, pour plus tard ...

KCqodEG01nG_Cercle-rayonnant-6-01-ter.jpg

On peut voir la fonction s représentée en rouge, et l'équation de la courbe verte : (s(x))^2 + (s(y))^2 = r^2.

Alors, comment fonctionne cette équation ? Eh bien, tant que -a < x < a, et que -a < y < a, on a s(x) = x et s(y) = y, l'équation verte s'écrit x^2 + y^2 = r^2, ce sont les arcs circulaires DANS le carré !

SI on sort du carré, par exemple si on on regarde le rayon à droite du carré, alors on a x > a, donc s(x) = a ! Et toujours s(y) = y.

L'équation verte s'écrit alors a^2 + y^2 = r^2 ... d'où y^2 = r^2 - a^2 > 0, et y + ou - Racine(r^2 - a^2). Pour r = 5.1, y = +/- 1 (env), d'où les 2 demies droites ...

Je n'arrive pas à vous joindre le fichier GeoGbra, pour jouer avec r. Que se passe-t-il si r = a Racine(2) ? ou si r supérieur ? Essayer !?

https://cjoint.com/c/KCqoHXVLNYG

https://cjoint.com/doc/21_03/KCqoHXVLNY … -03-14.ggb

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2021 14:49:08)

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#5 16-03-2021 16:19:33

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

A propos du fichier à charger !

En cliquant sur le lien ... j'arrive à "charger un fichier", je clique dessus et j'aboutis à GeoGebra 6, et j'en veux pas, mais vous peut-être ...

Une fois GeoGebra ouvert, je vais dans "Téléchargements" et là je trouve le fichier, à ouvrir donc !

Bonne chance B-m

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#6 16-03-2021 18:04:31

Wiwaxia
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Ce qui est en cause dans l'équation polaire invoquée, c'est la demi-somme des valeurs absolues.

KCqsakpnlZx_Grapphe-F-x-.png

C'est pratique, Geogebra !

Dernière modification par Wiwaxia (16-03-2021 18:46:30)

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#7 16-03-2021 18:42:14

Wiwaxia
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Wiwaxia a écrit :

... Sachant que la fonction F(u) = (|1 + u| + |1 - u|)/2 vaut 1 sur le domaine [-1 ; +1] et |u| en dehors de celui-ci, il doit être possible de trouver une équation polaire de la forme

ρ = (1/2)(F(v) + F(w))

en convenant de poser: v = R.Sin(θ0)/Sin(θ) et w = R.Sin(θ0)/Cos(θ)
(je n'ai pas fait la vérification des ajustements) ...

Cela ressemble au graphe que tu proposes, mais ne lui est pas tout à fait identique; il faut recourir à une expression un peu plus compliquée.

KCqsHmlBXzx_Graphe-coord-polaires.png

Là, j'ai triché en utilisant WolframAlpha.

Dernière modification par Wiwaxia (16-03-2021 19:42:37)

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#8 16-03-2021 19:37:50

Wiwaxia
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Il s'en fallait de peu pour que ça marche:
KCqtGAvmPvx_Graphique-02.png

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#9 16-03-2021 20:14:17

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonsoir Wiwaxia, et les autres aussi !

Belles figures de Wiwaxia, définies en polaire, j'y viendrai (peut-être) plus tard pour des variantes ...

En attendant, je vous propose une analyse de l'équation verte, en espérant vous convaincre de participer un peu ... plus ?

Si on fait varier r depuis 0, donc le point Origine, jusqu’à 5, on a un cercle, après r = 5 les rayons apparaissent et augmentent en largeur, les arcs diminuent, jusqu’à ce que r = a Racine(2), les arcs se réduisent alors aux 4 sommets A, B, C et D, et les rayons partent de ces 4 points, dans le prolongement des côtés du carré. Si r augmente encore, alors tout disparaît !???

Autour de cette position limite, GeoGebra n’affiche pas correctement les rayons, il y a des décalages … Déjà pas mal qu’il affiche la figure avant …

Vérifions par le calcul ce qu’il arrive : le carré, par prolongement de ses côtés, partage le plan en 9 zones. Le carré intérieur, 4 zones en croix des autres côtés du carré, et 4 zones opposées au carré par les sommets. Ces zones sont à considérer « frontières » comprises, elles ont donc les prolongements des côtés en commun lorsqu’elles    sont   «mitoyennes».
Par raison de symétries, il y a donc 3 façons de se positionner par rapport au carré … Z1, ou Z2+Z4+Z6+Z8, ou Z3+Z5+Z7+Z9.

KCqusj6di4G_Cercle-rayonnant-6-01-qua.jpg

Voyons ce que devient l’équation verte dans chaque groupe de zone(s),  pour r = a Racine(2) :
Zone 1 : x^2 + y^2 = r^2 = 2 a^2, dans le carré, ce qui conduit aux 4 sommets.

Zones 2, 4, 6 et 8 : pour Z2 on a : x = a, y = y, d’où : a^2 + y^2 = 2 a^2 … d’où : y = + ou – a, soit les 2 demies droites issues de A et D. A compléter par symétrie.

Zones 3, 5, 7 et 9 : pour Z3 on a : x = a, y = a, d’où : a^2 + a^2 = 2 a^2 … donc les 4 zones Z3+Z5+Z7+Z9 entières = 4 ¼ de plan !

En conclusion l’équation verte concerne les 4 ¼ de plans de sommets A, B, C et D. A vous de colorier ces 4 zones ?

Enfin si r > a Racine(2), il n’y a plus rien ! Les morceaux découverts sont hors zone de recherche !

Finalement l’équation verte « vit » de r = 0 à r = a Racine(2). I est amusant de constater que tout point du plan va participer à cette équation pour au moins une valeur de r dans [0 ; a Racine(2)] … pas classique …

Voilà, bonne soirée, Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2021 20:27:19)

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#10 17-03-2021 07:44:17

Wiwaxia
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Re-bonjour,

Les fonctions puissances conduisent à une expression plus simple, la demi-somme ([1 + u| + |1 - u|)/2
étant remplacée par (1 + un)1/n;
l'équation polaire devient dans ce cas: ρ = (1 + (K/Sin(θ))n)1/n + (1 + (K/Cos(θ))n)1/n - 1 .

Le rayon de courbure des arrondis est d'autant plus petit que l'exposant (n) est plus élevé:
KCrhFDxZwix_Gr-4-branches-n=2-4-8-16.png

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#11 17-03-2021 08:15:08

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour !

Tout à fait intéressant ! Mais je ne suis pas très doué en polaire (sauf qu'en il fait froid ... ;), et je préfère travailler en cartésien pour le moment.

On peut remplacer dans l'expression générique du cercle, la fonction s par "toute autre fonction", et en particulier aussi utiliser les fonctions puissances. Pour en rester à "du simple" utiliser par exemple : Abs(s(x))^n + Abs(s(y))^n = r^n ... pour n réel non nul ! Par contre pour n < 0, c’est pas génial !

J'aime bien n=2/3 qui donne une astroïde (me semble-t-il), et n = 1, c'est un carré !

Je vous joins un nouveau programme GeoGebra, avec un curseur pour n, dans quelques minutes.

KCriLjwG4xG_Super-Cercle-rayonnant-6-02.jpg

Et le programme :

https://cjoint.com/c/KCriSbCLkkG

https://cjoint.com/doc/21_03/KCriSbCLkk … -03-17.ggb

Vous remarquerez que les tracés ne sont pas "complets", mais ça donne une bonne idée de la "chose".

KCrjrrwFd5G_Super-Cercle-4-cas.jpg

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-03-2021 10:48:54)

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#12 17-03-2021 10:50:24

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour, un petit peu d'exercice !

Maintenant que vous connaissez les variations en super carré, et les 4 rayons qui apparaissent pour r = a …

Nous allons contrôler ces rayons !  Je vous propose d’étudier les fonctions suivantes :

si(x) = (abs(x + a) + x - a) / 2 et ss(x) = (x + a - abs(x - a)) / 2

(si pour s inf et ss pour s sup, pour se rappeler de l’action engendrée …)

Comment les utiliser pour contrôler le rayonnement ?

A plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-03-2021 10:51:45)

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#13 18-03-2021 09:42:13

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

Alors, pas de tentative sur si et ss ? Nous allons donc voir ça ensemble ...

Voilà les courbes de si et ss : avec en pointillés la courbe de s. On remarque que pour si c’est la partie « inf » qui devient constante, et que pour ss c’est la partie « sup ».

KCskqQbFaLG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-si-et-ss.jpg

Donc les fonctions si et ss, contrairement à la fonction s qui affiche 2 rayons opposés, vont afficher un seul rayon situé pour les valeurs "inf" avec si, et pour les valeurs "sup" pour ss ...

KCskCUK3MMG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-2-rayons.jpg

Et voilà les 2 rayons attendus ! Vous pouvez faire des essais divers avec le programme suivant :


https://cjoint.com/doc/21_03/KCskHtxibi … -03-17.ggb

En éditant eq2, remplacer si ou ss par s, si ou ss, il y a pas mal de combinaisons à essayer !



Remarquons que si la courbe mauve de eq2 commence par un cercle, à l'apparition des 2 rayons, elle se subdivise en 2 branches, puis lorsque r = a Racine(2), la branche en B devient en réalité 1 1/4 de plan. qui disparaît pour r + grand, alors que l'autre branche va continuer de croître indéfiniment ! (Voir # 9 avec les 9 Zones !)

KCspGnmarOG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-reste-1-branche.jpg


A plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-03-2021 15:33:19)

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#14 30-03-2021 13:44:04

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

J'ai été pas mal occupé ces derniers temps, et je vous ai laissé-e-s sur votre faim ???

Aujourd'hui je vais vous proposer d'utiliser des transformations géométriques : translation et symétries ...

D'abord la translation : c'est pour bouger ! Comment déplacer notre figure ? Appelons Omega(x0;y0) un point du plan, qui va servir de centre à notre carré. Je vous présente la figure suivante, avec les modifications :

https://cjoint.com/c/KCEnZOTJKkG

KCEnZOTJKkG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-translation.jpg

Voilà ! Il suffit de remplacer x par (x-x0) et y par (y-y0), sauf que pour les fonctions ys... il faut écrire (x-y0) ...

Et voilà ce que ça donne :

https://cjoint.com/c/KCEoL08hBsG

KCEoL08hBsG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-translation-2.jpg

Il suffit de cliquer-tenir le point Omega, de le déplacer ...

Enfin, pour des raisons "techniques", je vais remplacer yss par ysi dans l'équation de eq2 ...

KCEoRLpLTvG_Super-Cercle-rayonnant-6-02-translation-3.jpg

Et le lien pour le programme GeoGebra :

https://cjoint.com/doc/21_03/KCEoTPf3K3 … -03-17.ggb

A bientôt ! B-m

Dernière modification par Bernard-maths (30-03-2021 14:48:08)

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#15 30-03-2021 15:43:32

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonsoir à tous !

Je vais maintenant vous parler de symétries ...

KCEpQzjGkcG_Super-Cercle-Sym%C3%A9trique-6-04.jpg

Vous pouvez voir quelques compléments dans les équations ... Tout d'abord notre éq2 est rebaptisée eq1, avec des valeurs absolues en plus, eq1 : (abs(xsi(x)))^n + (abs(ysi(y)))^n = r^n !

Ensuite apparaissent 3 autres équations eq2, eq3 et eq5.

Si on parle d'un x qui vaut 4 (par ex), on a x = 4 ! Mais si on parle d'une valeur absolue de x qui vaut 4 (par ex !), alors on a x = 4 OU x = -4 ... ce sont 2 valeurs symétriques par rapport à 0. Si je parle d'un point M d'abscisse valeur absolue de x = 4, et d'ordonnée y = 3, alors j'ai 2 cas : M = M1 (4;3) et M2 (-4;3), qui sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ... Vu ?

DONC si je remplace, dans une équation (implicite), x par "valeur absolue de x", alors je crée une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. De même en remplaçant y par sa valeur absolue, on crée une symétrie par rapport à l'axe des abscisse. Et si on fait les 2, on crée les 2 symétries, donc une symétrie par rapport à l'origine du repère ... Youpi ! Voyons ça !

Si vous regardez bien les équations eq2 : (abs(xsi(abs(x))))^n + (abs(ysi(y)))^n = r^n ; de eq3 : (abs(xsi(x)))^n + (abs(ysi(abs(y))))^n = r^n ; et de eq5 : (abs(xsi(abs(x))))^n + (abs(ysi(abs(y))))^n = r^n ...

Vous constatez les modifications annoncées, en gras, par rapport à x et y (en gras) de eq1 !!!

Ce qui donne les figures suivantes :

https://cjoint.com/c/KCEqrRTb52G

KCEqrRTb52G_super-cercles-sym%C3%A9triques.png

En dernier, voilà ce que j'ai obtenu le 26/12/2003, 18 ans déjà ! Ou un peu moins ...

Et voilà ... pour le programme GeoGebra :

https://cjoint.com/doc/21_03/KCEquANK4i … -03-28.ggb

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (30-03-2021 18:08:08)

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#16 30-03-2021 18:10:12

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Re Bonsoir à tous !

Quelques variations sur les paramètres ... n en particulier :

https://cjoint.com/c/KCEshXklCTG

KCEshXklCTG_super-cercles-sym%C3%A9triques-variations.png

Pour n = 0.7 (astroïde presque), n = 1 = le carré, n = 3 ... et n = 20. Avec quelques aléas de tracés !

Ensuite, on peut se "promener" ...

https://cjoint.com/c/KCEsF6SXtAG

KCEsF6SXtAG_super-cercles-sym%C3%A9triques-variations-2.png

divers cas ... MAIS Omega doit rester dans des zones "proches" du 1er quart de plan ... sinon plus rien.

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (30-03-2021 18:35:59)

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#17 02-04-2021 19:13:11

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonsoir à tous !

Je vous ai dit : principes, équations et jolis dessins !

Je vous joint un programme GeoGebra, qui est animé, et qui simule le dépassement d'un cube tournant, d'un autre cube fixe ...

https://cjoint.com/doc/21_04/KDcthSYLDw … -04-02.ggb

Si ce n'est pas animé : cliquer-droit sur le curseur de alpha, et choisissez animer !

C'est le gadget de Pâques ! Bonne soirée, Bernard-maths

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#18 03-04-2021 06:16:47

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour !

Hier soir, ça fonctionnait, ce matin, ça bloque ???

... Ce n'est plus un pilote de chasse ... (un gars de jet ...)

J'essaye de redonner le lien :

https://cjoint.com/doc/21_04/KDdgCgS41s … -04-02.ggb


... pour moi, ça tourne !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (03-04-2021 06:30:11)

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#19 05-04-2021 09:01:09

Bernard-maths
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Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour !

ça ne tourne plus ! Je n'y comprends RIEN !

En fait, je crois que ça vient de mon programme qui cafouille sur mon ordi ...

Sinon, désolé, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-04-2021 09:16:48)

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