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#1 02-03-2021 00:40:06

Bill
Membre
Inscription : 20-01-2020
Messages : 51

Algèbre

Bonjour,

En résolvant cet exercice:

Considérons les vecteurs u = (1,-1,1,-1) et v = (0,1,1,1) de $\mathbb{R^4}$ (muni du produit scalaire standard).
1. Déterminer une base orthonormale (f1,f2,f3,f4) de $\mathbb{R^4}$ telle que vect(f1,f2) = vect(v,w).
2. Écrire dans la base canonique la matrice de la rotation d’angle $\theta = \pi/3$ autour du plan vectoriel $\Gamma$ :=vect (u,v) et la matrice de la rotation d’angle $\alpha = \pi/2$ autour du plan vectoriel $\Gamma$.

Je me suis rendu compte en vérifiant ma matrice dans la question2 que j’avais commis une erreur dans la determinantion de mes deux deniers vecteurs; sauf que en refaisant mes calculs tout me semble correct.

Je sollicite donc votre aide pour corriger cette erreur et finir mon exo.

Merci pour vos retours.

Voici ma solution :


Soit $\Gamma$ = vect (u,v) . On utilise le procédé des Gram-Schmidt pour othonormalisee la base u,v.

Posons $g_1 = u_1$ et $g_2 = v - \frac{v.g_1}{g_1.g_1}g_1 = \frac{1}{4}(1,3,5,3)$.
On normalise pour obtenir
$f_1 = \frac{g_1}{||g_1||}=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)$, $f_2 = \frac{g_2}{||g_2||}=\frac{1}{2 \sqrt{11}}(1,3,5,3)$

Le vecteur a = (a,b,c,d) est dans l’orthogonal de $\Gamma$ si et seulement si a.u=a.v=0, ce qui donne a-b+c-d=b+c+d=0.

Une base de $\Gamma$ est donc u’=(1,1,-1,-1) et v’=(1,0,-1,1).
Posons $g_3=u’$ et $g_4 = v’ - \frac{v’.g_3}{g_3.g_3}g_3=\frac{1}{4}(3,-1,-3,5)$

On normalise pour obtenir :

$f_3=\frac{g_3}{||g_3||}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$, $f_4=\frac{g_4}{||g_4||}=\frac{1}{2 \sqrt{11}}(3,-1,-3,5).$

Ainsi les vecteurs f1,f2,f3,f4 forment une base.

Dernière modification par Bill (02-03-2021 01:07:49)

Hors ligne

#2 06-03-2021 17:34:57

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 54

Re : Algèbre

Bonjour,
vous avez écris :
"Le vecteur a = (a,b,c,d) est dans l’orthogonal de Γ
si et seulement si a.u=a.v=0, ce qui donne a-b+c-d=b+c+d=0.
Une base de Γest donc u’=(1,1,-1,-1) et v’=(1,0,-1,1)."

je ne comprends pas votre choix pour u' et v' : a-b+c-d=b+c+d=0 donne a-2b-2d=0.

Hors ligne

#3 08-03-2021 01:46:33

Bill
Membre
Inscription : 20-01-2020
Messages : 51

Re : Algèbre

Bonjour,
Pour éviter toute confusion, il faut plutôt lire « le vecteur x =(a,b,c,d)  est dans l’orthogonal de $\Gamma$ si et seulement si x.u=x.v=0 »

J’ai procédé ainsi pour gagner de la simplicité dans mes calculs.
Mais un peu plus loin j’ai une erreur liée à la détermination de f3 et f4.

Hors ligne

#4 09-03-2021 23:42:04

Bill
Membre
Inscription : 20-01-2020
Messages : 51

Re : Algèbre

J’ai appliqué une autre méthode un peu plus longue que la première, en completant dans un premier temps par la base canonique (1,0,0,0) et (0,1,0,0). J’ai pu résoudre mon problème.

Hors ligne

#5 24-03-2021 04:28:17

Alama doumbouya
Invité

Re : Algèbre

Merci

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