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#1 07-03-2021 19:51:48

MOH BEN
Membre
Inscription : 07-03-2021
Messages : 4

question sur la topologie

Bonjour tout le monde , j'espere que vous allez bien . Svp j'ai une question concernant le module topologie generale bien precisement "l'espace de HAUDORFF" . Il y a un exemple qui dit : " soit X un ensemble infini muni de la topologie cofinie n'est pas separe " . Vous pouvez me demontrer cet exemple . Et merci beaucoup .

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#2 07-03-2021 20:30:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 912

Re : question sur la topologie

Bonjour,

Plus généralement, si $X$ infini est muni de la topologie cofinie, deux ouverts non vides ne peuvent pas être disjoints.
En effet, soit $U$ et $V$ deux tels ouverts. Tu peux écrire $X=U\cup F_0$ et $X=V\cup F_1$ où $F_0$ et $F_1$ sont finis. Si
tu supposes que $U$ et $V$ sont disjoints, alors on peut en déduire que $X=F_0\cup F_1$. En effet, si tu prends $x\in X$, alors ou bien il est dans $F_0$ et tu as gagné, ou bien il est dans $U$. Dans ce cas, il n'est pas dans $V$ et il est donc dans $F_1$...

F.

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#3 09-03-2021 13:40:06

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : question sur la topologie

Bonjour,

Pour rigoler, on peut aussi prendre la suite (x , y , x ,y, x ,y ,...) ( avec x et y deux éléments distincts de cet espace topologique infini).
Comme x (resp.y ) appartient à tous les ouverts de la topologie  contenant  x ( resp.y ) , cette suite converge à la fois vers x et vers y.
En effet à partir du rang 0 ( mais on pourrait prendre n'importe quel rang, une fois n'est pas coutume !)   x  ( resp. y ) est nécessairement en particulier dans un voisinage de x ( resp. y) fixé à l'avance puisqu'il est dans tous!

Or dans un espace séparé, aucune suite n'a plus d'une limite.
Donc cet espace n'est pas séparé.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 09-03-2021 14:01:03

Chlore au quinoa
Membre
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Messages : 286

Re : question sur la topologie

Salut Alain !

Je trouve que la topo est fascinante, et donc m'intéresse pas mal à ce sujet... Mais j'ai une interrogation sur ta suite !

Tu voulais dire valeur d'adhérence je suppose ? Sinon j'ai loupé un truc...

P.-S. : Pour répondre à un de tes autres posts, en effet les suites de Cauchy sont maintenant HP en prépa... Mais tout le monde les voit encore et démontre pas mal de trucs sur elles, c'est tellement classique aux concours ce genre d'exercice que les élèves sont obligés de les voir...Mais bon on ne rentre plus dans la théorie des espaces complets il est vrai !
Par curiosité quel est ton cursus d'études ?


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#5 09-03-2021 16:02:15

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : question sur la topologie

Salut,

J'ai effectivement du m'emmêler les pinceaux, de toute façon un voisinage de x disjoint d'un voisinage de y impliquerait qu'ils sont finis, ce qui est impossible dans un ensemble infini en étant aussi complémentaire de leur cofini bien-sûr.
Pour pouvoir "loger" une infinité d'images dans un voisinage fini, on doit pouvoir voir aussi que toutes les suites convergentes sont stationnaires ( ce qui ne présente pas un intérêt fabuleux )
Non seulement il n'est pas séparé ( négation de "deux points distincts  sont toujours dissociables par des ouverts", mais il est séparé nulle part si je puis dire ( "deux points distincts ne sont JAMAIS dissociables", ce qui offre une nuance plus dure encore).
Tu as raison d'être rigoureux, c'est la clef de pas mal de choses en maths.

Je n'ai aucun diplôme de math, je m'y intéresse toutes branches confondues et je dois faire le constat désopilant ( que je recule pourtant aux calendes grecques depuis quelques années pour pouvoir ne pas me tromper) que j'adore tout. Peut-être un gros faible pour la théorie des groupes et l'arithmétique vue la richesse et l'originalité des idées. Mais c'est pas faux non plus dans les autres branches... loin s'en faut. L'algèbre linéaire et tensoriel est super aussi quand on commence à avoir une vue d'ensemble des choses.
L'important est peut-être de pouvoir se tourner à tous moments dans toutes les directions sans trop de casse.

Et toi es-tu dans le monde des maths, dans quel secteur ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#6 10-03-2021 15:19:31

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : question sur la topologie

Bonjour,

Néanmoins pour refaire un pont rapide entre la topologie cofinie et la convergence des suites dans cet espace-là, on a la propriété que si une suite ne prend aucune valeur une infinité de fois, cette suite converge en fait vers tous les points de cet espace E:
En effet soit x un point quelconque, et [tex](u_n )[/tex] une telle suite d'éléments de E.
Pour tout ouvert O contenant x, on  est sûr du fait suivant: [tex] \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \ge N, \; u_n \notin O^c [/tex], (sinon une valeur au moins du complémentaire (fini) serait forcément prise une infinité de fois par la suite) et donc à partir de ce  rang N, les images sont bien dans O. Ainsi x (quelconque) est toujours limite de la suite [tex]u_n[/tex].
Et donc si on a une topologie cofinie sur un ensemble infini E, ( à l'opposé de mon post précédent) en considérant par exemple n'importe quelle injection de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans E, on a bien une suite qui à fortiori ne repasse jamais une infinité de fois par une valeur ( puisqu'elle n'y passe déjà pas deux fois :-), et donc d'après ce qu'on a dit elle converge vers tout à la fois !
On retombe sur le fait qu'un espace infini, muni de la topologie cofinie ne peut donc être séparé.
Evidemment si E est fini la topologie est la topologie discrète, puisque toute partie a son complémentaire fini.
C'est la seule possibilité d'être séparé (  [tex] \{x\} \cap \{y\} est \; bien \; vide \; si \;x \ne y [/tex]    ), en tout cas si E fini possède au moins deux éléments.

Pour résumer :

E fini de moins de deux éléments: pas séparé, toute suite dans E est constante donc convergente si E est non vide.
E fini d'au moins deux éléments: il est séparé, la topologie est discrète
E infini : il n'est pas séparé, et toute suite dans E qui ne prend   aucune valeur une infinité de fois converge vers tout à la fois!

On est bien dans le phénomène opposé de ce qui se passe dans [tex] \mathbb{R} [/tex] (et sa topologie traditionnelle) avec la suite [tex]((-1)^{n} n)[/tex]:
Ne prend aucune valeur une infinité de fois, et converge euh... vers rien du tout !
Pour enfoncer le clou on dira: normal !  Plongé dans [tex] \overline{\mathbb{R}}[/tex] cette suite a deux valeurs d'adhérence :-) !

pour plus de détail

A contrario, en notant A l'ensemble des valeurs de la suite  prise une infinité de fois par la suite, on remarque que
( le cas [tex] A = \emptyset [/tex] venant d'être vu )
si [tex] Card A \ge 2 [/tex] la suite n'a pas de limite ( E\{x} où x est dans A est bien un ouvert contenant un autre élément, et cet autre élément  ne peut être limite puisque x est pris une infinité de fois...,donc E\{x} ne peut contenir une section finissante  )
Enfin si [tex] A = \{a\}  [/tex], a est cette fois limite de la suite ( tout ouvert contenant a ayant son complémentaire fini, l'ouvert contient toutes les images à partir d'un certain rang, car tout élément en dehors  de l'ouvert est a fortiori distinct de a, donc ne peut être pris qu'un nombre fini de fois par la suite... et c'est la seule limite de la suite( raison analogue à la remarque précédente ...).

bref je rattrape un peu mon post m-rd-que précédent, avec les moyens du bord...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 11-03-2021 07:01:23

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 286

Re : question sur la topologie

Ow jolie démonstration le #6 ! Je ne la connaissais pas !

Et pour te répondre, j'ai étudié en classe prépa MP, et les maths m'ont tellement passionné que j'ai continué à regarder les cours et exercices de L3 puis M1 etc pour continuer à m'y intéresser.
Donc je n'ai aucun réel diplôme non plus, à part un équivalent de licence dû à ma prépa.
Et je dirais que mes domaines favoris sont la topologie, et tout ce qui touche à l'analyse brutale, je suis un peu bourrin dans l'âme. Points faibles : calcul diff je suis une quiche lorraine, et théorie des graphes je n'y connais quasiment rien.

Je travaille sur ton petit exo dans l'autre sous-forum ;)

Adam


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J. von Neumann

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#8 11-03-2021 08:18:45

bridgslam
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Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : question sur la topologie

Bonjour Adam,

C'est en fait, au passage, une topologie où certaines suites possèdent plusieurs limites à la fois, ce qui est plutôt contre-intuitif.
Quand on aborde la notion plus générale de limite avec les filtres ( ce qui inclut la notion pour les suites ), "l'unicité" traditionnelle de la limite est plus naturellement remise en cause. En poussant un peu on peut aussi à peu de frais étudier les filtres de Cauchy, l'adhérence des filtres etc.
Le cours d' Alain Bigard ( université du Mans sauf erreur) "topologie et calcul différentiel" est très clair, disponible sur la toile.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesL … dexpdf.htm

Pour les graphes j'avais trouvé cette série de vidéos intéressante, mais en anglais, où on peut aller assez loin,
avec force diagrammes qui font faire un bon bout de chemin:

https://www.youtube.com/results?search_ … arah+herke

Mes domaines plutôt lacunaires de mon côté concernent la théorie des distributions, que j'espère investir un beau jour.
Approfondir aussi le calcul tensoriel quand j'aurai un peu de temps.
Je me suis immiscé aussi dans l'intégration de Kurzweil-Henstock, sujet particulièrement passionnant, l'intégrale se basant sur des "jauges".
Les Anglo-saxons l'appellent d'ailleurs "Gauge- integration"

Pour l'inégalité proposée avec les normes, il ne faut pas trop se casser la tête, et la partie 2/ généralise en fait la partie 1/ (où la dimension est n = 1).
Je l'avais cherché et rédigé proprement ( à grands coups de Latex ) il y a pas mal de temps ( papier disponible ), mais d'autres points de vue possibles m'intéressent au plus haut point.

Je trouve internet idéal dans le domaine des maths pour échanger des informations, des idées, se former, etc.

Bon courage!
alain


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#9 23-03-2021 10:57:22

Papis badiane
Invité

Re : question sur la topologie

Bonjour mes chers c'est un plaisir de vous rejoindre dans se temple du savoir et du savoir faire...
Bon j'ai un problème et la voici :
Comment montrer que les parties connexes par arcs dans (X,T) constituent une partition de X ?
Merci beaucoup pour votre compréhension.
Cordialement papis badiane

#10 23-03-2021 16:25:09

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : question sur la topologie

Bonjour,

Si tu montres que la relation "A est relié par arc à B" est une relation d'équivalence dans X, ça le fait.
Ca ne devrait pas être trop difficile, par exemple pour la transitivité "accoler " deux applications continues sur deux intervalles qui se touchent .... donne un nouvel arc continue etc.

Cordialement,
Alain


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#11 23-03-2021 18:34:19

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 740

Re : question sur la topologie

Bonjour,

Désolé, mais je ne peux pas laisser ça.
Si on commence à accepter que n'importe qui commence à semer ses petites questions dans des discussions où elles n'ont rien à faire, dans 1 mois le forum sera devenu un capharnaüm où même une truie n'y retrouverait pas ses petits., ce qui serait dommageable pour tous.

Règle fondamentale dans tout forum :
1 sujet = 1 discussion

La question posée par Papis Badiane a-t-elle un rapport avec le sujet initié par MOH BEN, en constitue-t-elle une réponse ?
Non ?
Alors, pour poser sa question le susnommé a bien été obligé, soit de cliquer sur Répondre, ou de taper son texte dans le cadre Réponse rapide.

Dans l'un ou l'autre cas il a besoin de consulter
- un dictionnaire pour apprendre le sens du verbe Répondre
- Un Ophtalmologue pour contrôler sa vue : la mention Nouvelle discussion (un lien) est présente deux fois dans chaque page de chaque Sous-forum : en haut et en bas à droite de la page. Ici le lien Nouvelle discussion permet d'ouvrir une... nouvelle discussion, SA propre discussion dans le sous-forum Entraide Supérieur.

Afin qu'il ne se sente pas encouragé à continuer à parasiter les discussions, je me vois contraint de fermer la discussion en cours: vraiment désolé pour MOH BEN...

  - Yoshi -
Modérateur


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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