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#1 06-03-2021 18:08:26

user1992
Membre
Inscription : 06-03-2021
Messages : 3

Etude du reste d'une série.

Bonjour,


En appliquant le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction $x \mapsto e^x$ en $0$, il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que :

pour tout $x \in R$ : $$e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}$$

Je cherche à montrer que $\theta$ est unique.

Fixons un $x \neq 0$, pour $n$ donné, on a en posant $R_n(x) = e^{x} - \displaystyle  \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}$ :

$$ \theta = \dfrac{1}{x} \ln \left( \dfrac{(n+1)! R_n(x)}{x^{n+1}}\right)$$

$\bullet$ L'expression de $\theta$ a-t-elle un sens ? pour $x \neq 0$ la quantité dans $\ln$ peut-elle changer de signe ?
$\bullet$ Des suggestions pour établir l'unicité de $\theta$ ? 

D'avance merci pour votre aide.

Dernière modification par user1992 (06-03-2021 18:27:13)

Hors ligne

#2 06-03-2021 22:34:06

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 286

Re : Etude du reste d'une série.

Bonsoir !

Pour l'unicité de $\theta$, ben.... à moins que je fasse une bourde mentale, tu as exhibé une expression de ce réel en résolvant une équation donc il est unique...? Non ?

Ensuite pour la cohérence de ton expression, je te suggère une petite étude de fonction en développant les termes de $R_n(x)$...

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (06-03-2021 22:34:20)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 07-03-2021 06:49:46

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Etude du reste d'une série.

Bonjour,

Je ne pense pas que le formule de Taylor permette d'écrire ce que dit user1992 ! Ce qu'on sait c'est que pour $x$ donné, il existe un $\theta \in ]0,1[$, mais cette valeur dépend de $x$. Il faut juste se méfier de l'ordre des quantificateurs...

Définir la relation $x\mapsto \theta$ peut se faire comme tu le proposes, il n'y a pas trop à se poser de question de signe puisque tu sais que $R_n(x)/x^{n+1}$ est une exponentielle (c'est $e^{\theta x}$).

Ensuite l'unicité de cette fonction $\theta$ découle de l'expression (unique !) que tu as obtenue comme l'a dit Chlore au quinoa.

Pour $x=0$, tu peux prolonger ta fonction $\theta$ par continuité en posant $\theta(0)=0$...

Roro.

Dernière modification par Roro (07-03-2021 07:44:06)

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#4 07-03-2021 10:21:56

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 286

Re : Etude du reste d'une série.

Ah oui clairement !! C'est un $\theta_x$ ! Et même un $\theta_{x,n}$ !


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#5 21-03-2021 02:46:27

user1992
Membre
Inscription : 06-03-2021
Messages : 3

Re : Etude du reste d'une série.

Oui en effet, $\theta$ dépendant bien de $x$ et $n$, on aurait plutôt :
$$ \forall x, \forall n, \exists ~ \theta(n,x) \in ]0,1[, e^{x} = 1 + x + \dfrac{x}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}$$

Pour l'unicité, comme le suggère Adam, "ça tombe" tout seul une fois exhibée une expression de $\theta$ en fonction de $n$ et $x$.

Merci pour vos réponses !

Dernière modification par user1992 (21-03-2021 05:17:32)

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