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#1 05-03-2021 16:51:21

Free13
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Messages : 35

Intérieur et Frontière d'un ensemble

Bonjour à tous !!

Nous avons commencé un chapitre de topologie et j'avoue que je suis un peu perdu, donc je pense que j'aurai besoin de vos lumières dans les prochains jours haha.

Dans un qcm de ma série d'exercice, m'est demandé la chose suivante :

quand avons nous $$ \delta (E \cup F) = \delta E \cup \delta F $$ ?


a) $$E ^{\circ} \subset F $$

b) $$\bar{E} \cap \bar{F} = ∅ $$

c) E˚ ∩ F˚ = ∅

d) E ∩ F = ∅

J'ai essayé de raisonner géométriquement en partant des définitions avec les boules mais je vous avoue que je suis bien perdu.

En l'attente de votre aide !

F

ps-j'espère que le code latex s'affichera correctement.

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#2 05-03-2021 17:19:05

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
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Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Salut !

Si ton $\delta$ représente la frontière, on utilise plutôt un d rond $\partial$ pour ça ;)

Ensuite si j'ai bien appris un truc en topologie : dessiner. Vraiment. Tu fais un dessin et souvent ça te résout totalement le problème, tu n'as plus qu'à trouver la bonne façon de rédiger :)

Pour la a) tu peux déjà savoir que c'est faux à 99% parce que $E$ et $F$ n'ont pas un rôle symétrique contrairement à l'énoncé...

Sinon le conseil que je peux te donner c'est de dessiner deux ensembles qui vérifient l'énoncé, et ensuite de voir ce qui a priori colle bien, et d'essayer de l'écrire proprement :)

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 08-03-2021 13:44:26

bridgslam
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Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Bonjour,

Il s'agit de topologie sur R, sur un espace métrique quelconque ? Peux-tu préciser ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 08-03-2021 22:56:52

bridgslam
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Messages : 154

Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Bonsoir,

Comme c'est difficile et vrai dans un espace topologique quelconque, je te donne un sérieux coup de main, qui j'espère te donneras goût à la topologie.
La relation qui est toujours vraie est celle-ci:
[tex]\partial ( A \cup B) \subset \partial(A) \cup \partial(B) [/tex], ce qui est assez naturel, car
en prenant tous les "point-bords" de A et tous les "point-bords" de B, tu as pris au moins tous les "points-bords" de [tex]A \cup B[/tex].
C'est démontrable sans beaucoup de difficultés, avec les propriétés habituelles des adhérences et intérieurs.
Pour avoir l'inclusion contraire, il faut bien que les deux ensembles "ne se touchent pas" sinon on va prendre des points-bords communs aux deux ensembles quand on considère A et B séparément, et pas les prendre du tout quand on considère A et B globalement par leur réunion.
En fait on va montrer que la propriété ( fausse en général, on verra des contre-exemples faciles dans [tex]\mathbb{R} [/tex] ) est néanmoins vérifiée si [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset [/tex], ce qui résume ma petite introduction.

On voudrait  montrer [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset  \Rightarrow  \partial(A) \cup \partial(B) \subset \partial ( A \cup B)[/tex] , ce qui avec l'implication réciproque (toujours vraie) répond à nôtre propos.

On montre un petit lemme qui facilitera la suite, à savoir que [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset  \Rightarrow \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} = \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B} [/tex].
Là encore, il suffit de montrer le sens  [tex] \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} \subset \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B} [/tex] car l'autre sens est toujours vrai ( facile avec les propriétés des ouverts et des intérieurs ).

Si  [tex] \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} = \emptyset [/tex] l'inclusion est évidente.
Sinon soit x élément de [tex] \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} [/tex]. x est a fortiori élément de [tex]A \cup B[/tex].

Par définition de l'intérieur, il existe un ouvert O tel que [tex]x \in O, O \subset A \cup B[/tex]
Cela revient au même de dire que [tex]A \cup B [/tex] est un voisinage de x.
Supposons par exemple que [tex]x \in A[/tex] . Alors [tex]x \in \overline{A}[/tex], donc [tex]x \in \overline{B}^c [/tex] par disjonction des adhérences de A et de B.
En tant que complémentaire d'un fermé,  [tex]\overline{B}^c [/tex] est un ouvert.
Alors la chose intéressante est que [tex]O \cap \overline{B}^c  [/tex] est aussi un ouvert. de plus:

[tex]O \cap  \overline{B}^c \subset ( A \cup B) \cap \overline{B}^c [/tex] c'est-à-dire que [tex]O \cap  \overline{B}^c \subset ( A \cap \overline{B}^c ) \cup ( B \cap \overline{B}^c ) [/tex]

Comme B est incluse dans son adhérence, [tex] B \cap \overline{B}^c = \emptyset[/tex]. Il reste donc la relation:

[tex]O \cap  \overline{B}^c \subset A \cap  \overline{B}^c  \subset A [/tex].

On a bien trouvé un ouvert contenant x et inclus dans A, donc x dans A est en fait à l'intérieur de A.

Raisonnement similaire si x est dans B, il est alors plus précisément à l'intérieur de B.

En rassemblant les pièces on a donc que l'intérieur de la réunion est incluse dans la réunion des intérieurs.

Ainsi on a bien [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset  \Rightarrow \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} = \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B} [/tex].

On utilise ce lemme pour montrer la propriété demandée ainsi:

[tex]\overline{A \cup B} \setminus  \overset{\circ}{\overbrace{A \cup B}} = \overline{A \cup B} \setminus ( \overset{\circ}{A} \cup \overset{\circ}{B} )  [/tex], qui contient à la fois [tex] \overline{A} \setminus  \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B}[/tex] et
[tex] \overline{B} \setminus  \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B}[/tex] .

Mais les choses se simplifient car [tex] \overline{A} \setminus  \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B}  [/tex]
est en fait [tex]\overline{A} \setminus \overset{\circ}{A} [/tex] car comme l'adhérence de A est dans l'extérieur de B, l'intersection de l'adhérence de A avec le complémentaire de l'intérieur de B vaut.... l'adhérence de A.
Symétriquement on a [tex] \overline{B} \setminus  \overset{\circ}{A} \cup  \overset{\circ}{B}  [/tex]
est en fait [tex]\overline{B} \setminus \overset{\circ}{B} [/tex] pour des raisons analogues...

Le résultat est donc prouvé en traduisant en terme de frontières ces résultats.
Ouf !
A noter dans R et sa topologie [ a , b[ réuni avec [b ,c] , la frontière est { a , c } et pas {a,b,c}, les parties se "touchent" en b...
ce genre de visualisation conforte les idées...


Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 09-03-2021 08:03:34

bridgslam
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Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Re-bonjour,

Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]  et sa topologie habituelle, on peut considérer les parties A et B suivantes, et observer leurs frontières.

boundaries

A cause d'une partie de leurs frontières " qui fait double emploi" ( les adhérences de A et de B s'intersectent), la frontière globale,
celle de [tex]A \cup B[/tex] est nettement plus petite ( au sens de l'inclusion ) que la réunion des frontières.


On peut multiplier les exemples, même avec des topologies complètement exotiques, puisque le résultat en est indépendant.

Bonne journée

Alain


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#6 09-03-2021 08:36:57

bridgslam
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Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

A titre d' exercice, je te conseille de montrer les inclusions contraires, celles  toujours vraies, nettement plus faciles, quand je l'ai mentionné: celle pour les frontières, et celle pour les intérieurs (encore plus facile).

Note aussi qu'il n'a jamais été question de "boules" dans cette affaire, on joue simplement sur les ouverts et les définitions.
Quand on a une distance ( ou métrique, voire un écart  ), ou encore plus fort une norme, la structure topologique est évidemment encore plus riche, et on visualise souvent mieux car on se rapproche de nôtre espace physique avec les notions de proximité.
Néanmoins l'intuition peut aussi parfois être trompeuse avec des distances étranges ( ultramétriques par exemple ).
La visualisation mentale a donc aussi ses bornes.
Pour la topologie générale, ce sont les ouverts ( ou leur pendant les voisinages, on peut montrer que  les deux systèmes de construction sont équivalents ) qui tiennent le haut du pavé.
Il est difficile de se passer de cette théorie car on démontre aussi que certaines topologies ne peuvent pas se déduire d' une distance
( et donc encore moins d'une norme ! ).
Certains aspects de la théorie des graphes se rattachent aussi à la topologie.
Elle a aussi un gros impact en théorie de la mesure.

Bon courage sur les pas d'Hausdorff, Fréchet, Euler , Cartan... et toute la confrérie des "joyeux topologues" !

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 09-03-2021 08:56:35

yoshi
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Messages : 15 740

Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Bonjour à vous grands amateurs de topologie,

Puis-je me permettre une (très) courte interruption pour vous conseiller cette lecture aussi récréative qu'instructive...
De quoi peut-être changer le regard d'un étudiant :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … OGICON.pdf

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#8 09-03-2021 09:12:23

bridgslam
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Messages : 154

Re : Intérieur et Frontière d'un ensemble

Bonjour,

Oui, c'est sympa aussi, je connaissais cette présentation de Mr Petit.
Plonger dans ce domaine a du lui faire oublier un moment les extra-terrestres... et les OVNIS,
autre domaine dans lesquels il est acharné.
Qui sait , peut-être une passerelle entre les deux avec les trous de vers :-) ?

Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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