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#1 06-03-2021 20:08:26
- user1992
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Etude du reste d'une série.
Bonjour,
En appliquant le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction $x \mapsto e^x$ en $0$, il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que :
pour tout $x \in R$ : $$e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}$$
Je cherche à montrer que $\theta$ est unique.
Fixons un $x \neq 0$, pour $n$ donné, on a en posant $R_n(x) = e^{x} - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}$ :
$$ \theta = \dfrac{1}{x} \ln \left( \dfrac{(n+1)! R_n(x)}{x^{n+1}}\right)$$
$\bullet$ L'expression de $\theta$ a-t-elle un sens ? pour $x \neq 0$ la quantité dans $\ln$ peut-elle changer de signe ?
$\bullet$ Des suggestions pour établir l'unicité de $\theta$ ?
D'avance merci pour votre aide.
Dernière modification par user1992 (06-03-2021 20:27:13)
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#2 07-03-2021 00:34:06
- Chlore au quinoa
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Re : Etude du reste d'une série.
Bonsoir !
Pour l'unicité de $\theta$, ben.... à moins que je fasse une bourde mentale, tu as exhibé une expression de ce réel en résolvant une équation donc il est unique...? Non ?
Ensuite pour la cohérence de ton expression, je te suggère une petite étude de fonction en développant les termes de $R_n(x)$...
Adam
Dernière modification par Chlore au quinoa (07-03-2021 00:34:20)
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
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#3 07-03-2021 08:49:46
- Roro
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Re : Etude du reste d'une série.
Bonjour,
Je ne pense pas que le formule de Taylor permette d'écrire ce que dit user1992 ! Ce qu'on sait c'est que pour $x$ donné, il existe un $\theta \in ]0,1[$, mais cette valeur dépend de $x$. Il faut juste se méfier de l'ordre des quantificateurs...
Définir la relation $x\mapsto \theta$ peut se faire comme tu le proposes, il n'y a pas trop à se poser de question de signe puisque tu sais que $R_n(x)/x^{n+1}$ est une exponentielle (c'est $e^{\theta x}$).
Ensuite l'unicité de cette fonction $\theta$ découle de l'expression (unique !) que tu as obtenue comme l'a dit Chlore au quinoa.
Pour $x=0$, tu peux prolonger ta fonction $\theta$ par continuité en posant $\theta(0)=0$...
Roro.
Dernière modification par Roro (07-03-2021 09:44:06)
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#4 07-03-2021 12:21:56
- Chlore au quinoa
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Re : Etude du reste d'une série.
Ah oui clairement !! C'est un $\theta_x$ ! Et même un $\theta_{x,n}$ !
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
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#5 21-03-2021 04:46:27
- user1992
- Membre
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- Messages : 43
Re : Etude du reste d'une série.
Oui en effet, $\theta$ dépendant bien de $x$ et $n$, on aurait plutôt :
$$ \forall x, \forall n, \exists ~ \theta(n,x) \in ]0,1[, e^{x} = 1 + x + \dfrac{x}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}$$
Pour l'unicité, comme le suggère Adam, "ça tombe" tout seul une fois exhibée une expression de $\theta$ en fonction de $n$ et $x$.
Merci pour vos réponses !
Dernière modification par user1992 (21-03-2021 07:17:32)
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