Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?

Free13 · 05-03-2021 19:00:27

Bonjour à tous !

j'ai une question un peu stupide, mais par exemple si l'on nous donne l'ensemble :

$$E = \left \{ \left ( \frac{1}n, e^{-(logn)3/2}{} \right ), n \in N* \right \}$$

est ce que cela veut dire qu'il sagit de l'union des deux ensembles de chaque côté de la virgule ?

De plus, comment savoir si cet ensemble est dénombrable ?

Intuitivement je dirai qu'il l'est, et que c'est précisément la raison pour laquelle il ne peut pas contenir la moindre boule, et qu'ainsi il est ouvert.

J'essaye de faire les liens entre les différents concepts de mon cours mais celui ci, bien qu'il puisse paraitre évident, manque de consistance à mes yeux dans le sens ou je ne sais pas comment prouver qu'il existe une bijection entre ce set et N.

De plus, puis je affirmer que comme la limite quand n tend vers l'infini de ce set n'est pas contenue dans E, E ne peut pas être fermé ?

Merci d'avance !

F

Chlore au quinoa · 05-03-2021 19:42:12

Chalut !

Non pour l'union ! C'est juste un ensemble de doublets. Les premiers éléments de l'ensemble sont : $\{(1,\,1),\,(\frac12,exp(-3\log(2)/2)...\}$

Ensuite pour savoir s'il est dénombrable, la question à se poser est comme tu l'as dit existe-t-il une bijection entre $\mathbb{N}$ et cet ensemble ? C'est normalement assez simple de le voir vu que les éléments sont indicés par $n$... Plus simple : est-ce que l'ensemble $\left\{\dfrac1n,\,n\in\mathbb{N}^*\right\}$ est dénombrable ?

Et ion s'il est vraiment dénombrable, en effet il ne contient aucune boule... Mais en quoi cela fait de lui un ouvert ??? Bien au contraire !!

Et pour la fermeture d'un ensemble tu as dû voir dans ton cours la caractérisation suivante : $E$ fermé $\Longleftrightarrow$ toutes les suites convergentes d'éléments de $E$ convergent dans $E$. Plus qu'à définir une norme pour la convergence, vu que tu travailles dans $\mathbb{R}$ ça devrait aller, puis conclure :)

Adam

Free13 · 06-03-2021 10:39:37

Hey !

Tout d'abord merci beaucoup pour ta réponse effectivement j'étais loin du compte je n'avais pas compris qu'on devait y voir des doublets haha.

Ensuite avec un raisonnement tout à fait intuitif effectivement il est évident que l'ensemble donné est dénombrable.

Je me suis tout à fait mal exprimée, ce que je voulais dire c'est que comme E était dénombrable, j'en déduisais qu'il ne pouvait contenir la moindre boule, et dans ce cas est ce que le fait que ça implique que l'ensemble ne soit pas ouvert viens du fait qu'on ne pouvait prendre en compte les éléments de la bordure ? Je ne sais absolument pas si ce que je dis est clair, ça m'étonnerait que cela le soit car ça ne l'est déjà pas pour moi ...

Et ensuite tu me demandes de définir une norme dans R ? Je suis désolée je ne suis pas sur de comprendre...

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre !!!
F

Dernière modification par Free13 (06-03-2021 10:40:19)

Chlore au quinoa · 06-03-2021 13:59:35

Re,

Alors la réponse "avec un raisonnement tout à fait intuitif" ne marche pas trop dans une copie ^^ faut la construire ta bijection ! Mais bon je pense que tu l'as !

Ensuite c'est quoi la définition d'un ouvert ? C'est un ensemble qui est voisinage de tous ses points, donc pour n'importe quel point de l'ensemble, il existe une boule centrée sur ce point et contenue dans l'ensemble. Donc si l'ensemble ne contient aucune boule comment peut-il être ouvert ?

Pour ta question sur la norme, si tu fais de la topologie tu as forcément étudié les normes avant non? C'est la brique élémentaire pour construire des espaces normés. La convergence elle-même est définie par rapport à une norme ! Tu n'as pas vu ça ?

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (08-03-2021 13:46:29)

bridgslam · 08-03-2021 13:08:53

Bonjour à tous,

En appelant f la fonction inverses et g... l'autre fonction, on remarque qu'elles sont toutes les deux injectives de N* vers R
( mais l'injectivité d' une seule suffirait d'ailleurs ).
Alors l'application h : n -> ( f(n) , g(n) ) est injective, donc l'ensemble des images , qui est ton ensemble de couples est infini dénombrable.

Comme partie de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] , pour qu'il soit ouvert ( pour la topologie classique) , il faudrait qu'il contienne pour chaque couple de E , un pavé ouvert contenant ce couple. Hors un pavé ouvert non vide de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] est toujours non dénombrable comme produit cartésien de deux intervalles ouverts non vides.

Comme E est dénombrable, ce n'est pas possible.

Pour la dernière question, tu peux le dire effectivement.

Alain

bridgslam · 08-03-2021 13:13:40

Remarque, sans injectivité, tu aurais seulement la propriété d'être "au plus dénombrable", c'est-à-dire éventuellement finie.
L'ensemble des image par une application dont l'ensemble de départ est infini dénombrable est toujours au plus dénombrable.
Ici comme déjà dit, l'injectivité sur une seule composante, suffit à montrer l'infinitude.

Alain

bridgslam · 08-03-2021 13:25:49

Remarque pour Adam:

Il n'y a pas besoin de considérer une norme pour parler de convergence d'une suite , un espace métrique, voire un espace topologique avec ses voisinages associés suffisent.
Pour la notion plus générale de limite, le cadre général est celui d'un ensemble filtré pour le départ, d'un espace topologique pour l'arrivée.

Par-contre pour parler de suite de Cauchy, il faut une métrique (ou mieux une norme) , ou plus généralement disposer d'une structure uniforme ( notion nettement plus délicate avec les histoires d'entourages etc).

Cordialement,
Alain

Chlore au quinoa · 08-03-2021 13:48:13

Salut Alain !

Je sais bien qu'une distance ou un voisinage suffit à faire converger des suites, mais ua vu du niveau de notre ami Free, il doit être en L2/sup ou spé, et si ma mémoire est bonne on n'entend plus parler d'espaces métriques mais normés. Donc pas de distance mais que des normes hélas... Je n'ai pas voulu l'embrouiller en introduisant de nouveaux termes voilà tout !

Adam

bridgslam · 08-03-2021 15:08:37

Bonjour,

Pas de souci, moi je n'ai découvert que récemment qu'en mpsi on n'évoquait même plus les suites de Cauchy, qui sont hors programme.
Il faut que je me recycle !
Hormis ces questions topologiques, les propriétés de h: x -> ( f(x), g( x) ) en fonction de celles de f et g sont toujours intéressantes à évoquer, notamment côté surjectivité, injectivité...
En particulier f ou g injective => h injective sert souvent.

Alain

yoshi · 08-03-2021 16:48:27

Re,

@brigdslam

moi je n'ai découvert que récemment qu'en mpsi on n'évoquait même plus les suites de Cauchy, qui sont hors programme.

Bin, tu n'es pas au bout de tes surprises...
Si tu creuses un peu plus, tu vas constater que les programmes de Lycée ont été aussi "épurés", et qu'en amont encore, les programmes de Collège eux aussi, ont subi, au cours des années de sérieux "élagages" et ceci explique - en partie - cela...

@+

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Re : Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?

#7 08-03-2021 13:25:49

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#8 08-03-2021 13:48:13

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