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#1 01-03-2021 22:41:23

Red_Y17
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Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Salut tout le monde.

J'ai besoin de votre aide à propos d'une question que j'ai pas pu résoudre qui est :

**Montrer que les groupes (Q\{0} , ×) et (R\{0} , ×)  ne sont pas isomorphes c-à-d qu’il n’existe pas d’isomorphismes entre les deux groupes.

(Indication : Utiliser le fait que √(2) n’est pas rationnel.)

Dernière modification par Red_Y17 (01-03-2021 22:45:07)

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#2 02-03-2021 06:54:08

Fred
Administrateur
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Messages : 5 912

Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Bonjour,

  Je ne sais pas qui t'a donné cette indication, ni comment l'utiliser, mais il y a une preuve en une ligne : l'un de deux ensembles est dénombrable, et l'autre pas. Ils ne peuvent donc pas être mis en bijection (peu importe d'ailleurs que ce soit un morphisme de groupes ou pas d'ailleurs).

F.

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#3 02-03-2021 08:36:18

bridgslam
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Messages : 154

Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Bonjour tout le monde,

Le critère de non équipotence ( notion ensembliste ) suffit à montrer ( c'est liminaire ) l'impossibilité, ainsi que Fred l'a indiqué.

Si l'on s'en tient à l'argument suggéré par l'énoncé ( j'imagine pour s'astreindre à faire spécifiquement de l'algèbre... ) c'est un peu plus lourd.

Si on a un isomorphisme dans le sens indiqué, on en a un dans l'autre sens, disons f,  entre [tex] \mathbb{R}[/tex] et [tex]\mathbb{Q} [/tex] munis chacun du produit.

Il existe donc réel non nul b tel que f( b ) soit 2 par bijectivité donc surjectivité.

Comme f(1) vaut 1 (morphisme)  = f [(-1)(-1) ] ,  le carré de f(-1) vaut 1, donc f(-1) est égal à 1 ou -1.
Comme f est bijective, la seule possibilité est f( -1) = -1, car déjà f(1) = 1 et 1 n'a qu'un antécédent.

Ensuite pour tout x non nul, f(-x) = f( (-1) x ) = f(-1) f(x) = -f( x) .

Donc si b est str. négatif, b = -a , f( b) = -f(a) donne f(a) = -2.
sachant que a str. positif est le carré d'un réel u, f( uu ) = f(u)f(u) = -2 , relation dans Q impossible ( un carré est positif) .

Donc b est str. positif , c'est un carré, f( b ) = f (cc) = f(c)f(c) = 2.

On aurait donc un nombre rationnel f(c) dont le carré vaut 2, ce qui est aussi impossible.

Un tel isomorphisme f  n'existe donc pas... et on retombe sur nos pieds.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 02-03-2021 10:41:58

bridgslam
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Re-bonjour,

L'énoncé devrait être généralisable et montrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme
d'un ensemble E infini dénombrabe muni de la multiplication avec (  [tex]\mathbb{Q}[/tex] ,x )
dès lors que tout élément de E est un carré ou l'opposé d'un carré.
La preuve devrait être similaire sans pouvoir cette fois avancer d'argument de dénombrabilité.
L'algèbre sauve la mise dans ce cas.
Pour( E,x ) toutes les puissances paires formelles (sans torsion) d'un élément donné.
E est bien dénombrable et la pierre d'achoppement sera encore [tex]f( u^2 ) = 2 = f(u)^2  [/tex]
, ou tout autre valeur rationnelle autre que 2 ( et même entière, c'est équivalent ! ),
qui ne soit pas un carré.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 02-03-2021 15:50:27

Red_Y17
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Salut Fred.

En fait, c'est une question d'un devoir que notre prof nous a demandé de traiter.
Ce que j'ai compris de votre réponse, c'est qu'on peut pas avoir une bijection entre un ensemble dénombrable et autre ensemble qui n'est pas dénombrable.
Mais, j'ai pas bien compris la notion de dénombrabilité. Pouvez-vous expliquer cette notion.

Dernière modification par Red_Y17 (02-03-2021 15:54:31)

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#6 02-03-2021 15:54:05

Red_Y17
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Messages : 34

Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Salut bridgslam.

votre réponse était bien expliquée.

Merci beaucoup.

Dernière modification par Red_Y17 (02-03-2021 15:55:18)

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#7 02-03-2021 16:06:18

Chlore au quinoa
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Hey,

Un ensemble est dit dénombrable s'il existe une bijection entre $\mathbb{N}$ et cet ensemble, ou s'il est fini. Ça correspond intuitivement à la notion de pouvoir compter ou lister les éléments.
Tu peux démontrer que $\mathbb{N}\cup \{-1\}$ est dénombrable, que $\mathbb{Z}$ l'est aussi également, et enfin que $\mathbb{Q}$ l'est, c'est un bon exercice.

Plus généralement, $\mathbb{N}^m$ avec $m\in\mathbb{N}$ l'est aussi.

Je pense que tu $se,s$ pourquoi il est impossible d'avoir une bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$, il y a beaucoup "plus" d'éléments dans les réels que dans les entiers.

Peux-tu le prouver ?
Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#8 03-03-2021 09:27:36

bridgslam
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Bonjour,

L'ensemble des nombres réels est en bijection avec l'ensemble des parties de l'ensemble [tex]\mathbb{N}[/tex].
Il y a toujours strictement plus d'éléments entre un ensemble E et son ensemble des parties.

Par définition des ensembles en bijection ( on dit aussi équipotents, ou de même puissance ) ont la même  quantité d'éléments.
Le "saut" de quantité entre les naturels et les réels fait dire qu'on passe du "discret" au "continu".

Pour voir les choses plus profondément il faut passer par la théorie des ordinaux et des cardinaux, assez abstraite mais faisable si on est courageux.

Le fait qu'il n'y ait pas d'infini intermédiaire entre celui des entiers et celui des réels fait partie de l'axiomatique, ce n'est pas décidable en soi.
On l'appelle l'hypothèse du continu.

Plusieurs définition du dénombrable sont possible, il vaut mieux préciser "infini dénombrable" s'il est infini, selon que certains considèrent la finitude comme un cas particulier: dans ce cas une définition pratique se base sur une surjection de N sur l'ensemble( qui inclut le cas fini pour E ) , ou ce qui est équivalent: il existe une injection  de l'ensemble vers N.

Cordialement,
Alain


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#9 03-03-2021 19:47:42

Red_Y17
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Salut Adam.

Pour montrer qu'un ensemble E est dénombrable, est ce que la seule façon est de chercher une application qui est bijective entre

E et l'ensemble des entiers naturels N?

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#10 03-03-2021 19:59:05

Red_Y17
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Salut Alain.

Ce que j'ai compris de ta réponse, c'est lorsqu'on a une bijection entre deux ensembles, donc automatiquement ces deux ensembles ont

le même cardinal.

Mais dons le cas des ensembles R et N, il n'y a aucune bijection entre eux car le cardinal de R est plus grand que celui de

N, même si les deux cardinaux sont infinis, mais celui de R est plus grand.

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#11 04-03-2021 07:34:44

Chlore au quinoa
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Oui et oui pour tes 2 messages !

En effet,$\mathbb{R}$ est beaucoup plus "grand" que $\mathbb{N}$. Ce qui me faisait tiquer, c'est de me dire que par contre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Q}$ on le même nombre d'éléments... Étrange quand on y pense ^^
Mais une fois qu'on construit la bijection, on y voit plus clair !

Adam


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J. von Neumann

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#12 04-03-2021 07:48:18

bridgslam
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Bonjour,

C'est exactement celà, il y a même une infinité de cardinaux infinis, le plus petit étant celui de [tex]\mathbb{N}[/tex]
On peut, d'ailleurs  construire [tex]\mathbb{R}[/tex] comme un ensemble de parties particulières  de [tex]\mathbb{Q}[/tex], ses sections commençantes, qu'on peut visualiser comme ses parties strictes qui stoppent à moment donné sur la droite ( les complémentaires des parties [r, -> [ et ]r, ->[ ). Le réel est justement le "bord", et dans le deuxième cas , c'est même un rationnel r.
La propriété de la borne supérieure est même plus naturelle à prouver avec cette construction que d'autres.
Cet ensemble de parties ( qui ne comprend pourtant pas toutes les parties de Q ) est alors suffisamment grand pour être même en bijection avec toutes les parties de [tex]\mathbb{Q}[/tex].

On représentes les cardinaux infinis par des lettres hébraïques,  [tex]\aleph0[/tex],  [tex]\aleph1[/tex] dits aleph0, aleph1 etc.
On peut s'amuser à montrer que des ensembles simples sont dénombrables ou pas...
L'ensemble des parties finies de [tex]\mathbb{N}[/tex] l'est, l'ensemble des suites stationnaires d'entiers aussi, PAS l'ensemble des applications caractéristiques sur [tex]\mathbb{N}[/tex] , en bijection avec la représentation binaire des réels,  etc.
Des raisonnements sur les cardinaux permettent même de prouver des existences d'objets.
Par exemple, l'ensemble des nombres algébriques A étant dénombrable, et pas l'ensemble des réels, l'infinité du complémentaire de A,
qu'on appelle ensembles des nombres transcendants ( tels [tex]\pi, \; e , \; 0.012345678910111213141516...[/tex],  prouve par l'absurde qu'il en existe, et il y en a même beaucoup plus...

Le précurseur dans le domaine, à savoir Cantor, fut lui-même stupéfait: "Je le vois, mais je ne le crois pas..." par certains résultats, notamment que le plan n'est pas plus grand qu'une droite...
En fait pour bien piger il faut passer par les ordinaux qui constituent en quelque sorte une sorte d'échelle (*) unique des ensembles, mais c'est de la théorie des ensembles assez délicate et on peut s'en passer dans ses débuts en maths pour ne pas perdre son temps.
(*) on peut toujours monter d'un barreau, mais dans l'autre sens, quand on redescend, il n'y a parfois pas de barreau juste en dessous... ce "trou" provient justement du fait qu'il y a parfois une discontinuité, un ordinal "limite", ... et on saute de catégorie d'infini, comme entre N et R.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#13 04-03-2021 08:06:49

Chlore au quinoa
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

J'ajoute quelque chose pour bien visualiser que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable :

Imagines qu'on puisse lister tous les réels. Un moyen de le faire c'est d'écrire les décimales de chaque réel qu'on liste par exemple :
$1,5464164...$
$2,4992654...$
$3,01230001...$
$9,151578412...$
$0,001200214...$
$6,54184515...$
$4,048455454...$
...

Ensuite tu construis un nouveau réel comme ceci : Regarde le premier chiffre du premier réel de la liste. S'il commence par un $1$, tu le changes en $2$, si ce n'est pas un $1$, tu le changes en $1$.
Ensuite regarde le deuxième chiffre du deuxième réel de la liste, applique le même algorithme.
Etc pour le $n$-ième.

$\color{red}1,5464164...$
$2,\color{red}4992654...$
$3,0\color{red} 1230001...$
$9,15\color{red} 1578412...$
$0,001\color{red} 200214...$
$6,5418\color{red} 4515...$
$4,04845\color{red} 5454...$
...

Donc avec cette liste ça donne $2,122111...$
Le réel créé ne peut pas avoir été déjà écrit dans la liste, car il diffère du $n$-ième élément au moins de la $n$-ième décimale. Donc tu le rajoutes. Et tu continues à l'infini. Donc toute liste de réelle est incomplète.

Bien sûr faut bien rédiger pour rendre ceci rigoureux, mais je trouve ça beaucoup plus intuitif qu'une méthode à base de notions plus compliquées comme le théorème des fermés emboîtés pour les espaces métriques complets.
C'est la méthode qui permet le mieux de visualiser l'écart entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{N}$ je trouve.

Adam


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J. von Neumann

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#14 04-03-2021 12:44:17

bridgslam
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Dans mon précédent message j'ai indiqué une esquisse de construction de R basée sur des parties de Q.
En fait il y a d' autres parties de rationnels qui "stoppent" à droite en plus des deux précédentes ( considérées comme égales et rationnelles, comme leur "butée" r) . Ce sont justement les irrationnels. Il n'y a pas de plus petit rationnel qui les dépasse...
Désolé pour le manque de précision précédent...
S'ensuivent ensuite les opérations classiques, et on tombe finalement sur un corps totalement ordonné ( par l'inclusion)  isomorphe à R, dont Q est une partie isomorphe partout dense.
La preuve de la propriété de borne supérieure se déduit alors effectivement automatiquement de celle liée à l'inclusion et est très simple.
Ensuite si on veut être complet ( sans jeu de mot ), le théorème d' Eudoxe permet d' affirmer que deux groupes tot. ordonnés parfaits
sont toujours isomorphes, et de façon unique si on fixe juste une des images( ça implique d'ailleurs la commutativité car parfait => archimédien => abélien d'après un théorème de Hölder ).

Cela permet aussi  d'introduire la fonction exponentielle réelle ( ou sa réciproque le log népérien ) sans une seule goutte d'analyse.
De bonne références sur le sujet sont soit Arnaudiès algèbre ( avec l'accent sur la complétude ) , soit encore plus simple et plus expéditif  le "Que-sais-je "  de topologie ( Delachet sauf erreur ).
La démo d'Eudoxe est même suggérée en exercice, difficile dans l'absolu sans hypothèse de commutativité, mais plus simple si on connaît le théorème d'Hölder.
Sans Hölder, il faut jongler avec des opérations définies sur 3 éléments ( et pas 2 comme de coutume) et des aspects de symétrie.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#15 05-03-2021 15:50:02

Red_Y17
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Re : Montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes.

Merci beaucoup à vous Adam et Alain pour vos réponses.

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