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#1 02-03-2021 10:18:30

bridgslam
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petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Bonjour,

Dans un meeting quelconque, ou une réunion festive quelconque ( d'au moins 6 personnes ),
vous pourrez parier ( même une grosse somme ) qu'il est très probable (*) que  3 personnes se connaissent
mutuellement, ou que 3 personnes sont des illustres inconnues les unes envers les autres.

Pas de souci de perdre votre pari.

(*) tournure ambigüe pour inciter des personnes à faire des paris contraires,
     et s'en mettre alors plein les poches ( la probabilité valant 1 comme vous vous en doutez)

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#2 02-03-2021 13:43:35

Chlore au quinoa
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Messages : 286

Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Salut !

J'apprécie énormément tout ce qui touche à la combinatoire, aux probabilités, au dénombrement etc. surtout quand cela touche directement le monde réel. En effet, en plus d'être des domaines passionnants, ils permettent de faire comprendre aux gens l'utilité et la beauté des maths.

Je propose une "démonstration" (guillemets car ce n'est pas une démo mathématique habituelle) de ton jeu :

Je nomme $(1)$ "3 Personnes quelconques ne se connaissent jamais mutuellement"
              $(2)$ "3 Personnes quelconques ne sont jamais inconnues les unes envers les autres"

Tentons de montrer que $(1)$ et $(2)$ peuvent être vérifiées simultanément

Considérons 6 personnes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ se réunissant.
Parmi les 6, au moins 2 se connaissent, sinon on contredit $(2)$. On dira que $A$ et $B$ se connaissent.
De même parmi  les 4 autres, au moins 2 se connaissent entre elles pour la même raison. On considère donc que $C$ et $D$ se connaissent.

En représentant par un trait rouge la relation de connaissance entre 2 individus sur le dessin suivant : https://www.cjoint.com/c/KCcmwNeV2eI, on veut donc éviter qu'il y ait un triangle rouge,  (représente non respect de $(1)$) ou qu'il y ait 3 lettres sans aucun trait entre elles (non respect de $(2)$).

La situation actuelle est :

Situation actuelle

Sur le dessin, 3 points ne sont pas reliés : $E$, $F$, et $C$.

► Premier cas : $E$ connaît $F$

Pour respecter $(2)$, il faut par exemple relier, $A$ et $D$
En considérant cette figure, $B$, $E$ et $C$ ne sont pas reliés entre eux. 3 reliages sont possibles mais $E-C$ et $E-B$ équivalentes par symétrie.

▬ Premier sous-cas : relions $E$ à $C$ : Illustration
$B$, $D$ et $F$ demeurent isolés. Impossible à cause de $(1)$ de relier $B$ à $D$. Relions tout d'abord $B$ à $F$. $A$, $C$ et $F$ isolés, impossible de relier $A$ à $F$ ou $F$ à $C$ ou $A$ à $C$ à cause de $(1)$.

Donc il faut relier $D$ et $F$. Exactement même problème; Donc impossible.


▬ Deuxième sous-cas : relions $B$ à $C$
$B$, $F$ et $D$ sont isolés, impossible de relier $B$ à $D$ à cause de $(1)$, les 2 autres sont équivalents par symétrie. Par exemple relions $F$ à $D$. Les points $A$, $F$ et $C$ sont isolés. Impossible de faire un reliage à cause de $(1)$. Impossible.

► Deuxième cas $E$ connaît $C$ (équivalent à $F$ connaît $C$)

$B$,$E$ et $D$ sont isolés. $E$ ne peut pas être relié à $D$ à cause de $(1)$. Les deux autres sont équivalents par symétrie. Prenons par exemple $E$ et $B$.
$B$, $C$ et $F$ isolés. $B-C$ impossible, les 2 autres sont équivalents par symétrie. Par exemple relions $B$ à $F$.

$A$, $F$ et $E$ sont isolés et impossible de tracer un des 3 traits à cause de $(1)$ : impossible.

CONCLUSION : Aucun moyen de disposer 6 personnes de sorte à respecter $(1)$ et $(2)$.

Bien sûr si ce n'est pas vrai pour 6 personnes, a fortiori cela ne marche pas non plus pour $n>6$ (il suffit d'isoler 6 personnes parmi les $n$).

Je ne sais pas si la démo est optimale, ni même s'il y a un autre moyen plus esthétique, mais merci à tous ceux qui la liront elle m'a vraiment pris un temps fou à cause des nombreuses images.

Adam

P.-S. : Je réfléchis à une généralisation pour voir si le résultat demeure pour $n$ et $2n$ au lieu de $3$ et $6$.

Dernière modification par Chlore au quinoa (02-03-2021 13:45:23)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 03-03-2021 13:46:44

bridgslam
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Bonjour,

On peut aussi raisonner par disjonction des cas à tiroirs, ce qui raccourcit la démo.
De mémoire ( je ne m'y suis pas re-penché depuis un bout de temps ) , soit il existe une personne P connaissant au moins 3 personnes,
et forcément si deux parmi ces trois-là se connaissent, on a un triangle de connaissance avec P, ou alors elles sont inconnues mutuellement, et c'est fini aussi.
Soit toutes connaissent au plus 2 personnes. Les choses se décantent alors assez vite en menant au résultat ( quitte à faire quelques schémas).
Cordialement,
Alain


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#4 04-03-2021 07:29:12

Chlore au quinoa
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Hey !

Je me doute bien qu'il y a beaucoup plus simple, je pense même avoir fait la démo la plus longue possible vu que je traite à peu près tous les cas ! Mais je suis un bourrin dans l'âme un peu donc j'ai pas pu résister ^^

Adam


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J. von Neumann

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#5 04-03-2021 11:09:30

bridgslam
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Sinon, les graphes c'est bien intéressant effectivement, je crois qu'au Lycée dans la filière économique ( ES ?) , ils voient les notions de bases, + coloriages ( sans aller jusqu'au polynôme chromatique ! ) , théorème d' Euler,  algo de Dijkstra etc avec une mise en pratique parfois intéressante et  utile pour la filière. C'était un domaine complètement occulté à mon époque.

Bon courage
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#6 04-03-2021 12:22:22

Chlore au quinoa
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Re,

Oula !!! Tu surestimes énormément le niveau des terminales...
Même durant 2 années de prépa, je n'ai qu'à peine effleuré la théorie des graphes, domaine pourtant super intéressant ; et encore c'était en cours d'info pour programmer des algos (typiquement Dijkstra pour le plus court chemin entre 2 villes par exemple).

Les coloriages aussi c'est super rigolo, certains théorèmes sont plutôt jolis (la n-"colorabilité" de certains types de cartes par exemple...)
Mais à moins que les choses se soient bouleversées depuis quelques années, je ne pense pas qu'ils abordent ceci au lycée.

Adam


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J. von Neumann

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#7 04-03-2021 13:03:08

bridgslam
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Re-Bonjour,

Si, si on retrouve aussi ( parfois ) des sujets d'annales term ES spécialité ( entre les années 2005 et maintenant, je dirais à la louche ).
L'approche y est plus pratique que théorique, et je ne dis pas non plus que la majorité des élèves y excellent...
Mais ces sujets ( à moins que ça ait changé tout récemment) sont bien abordés ( avec quel bonheur je l'ignore...).

Alain


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#8 04-03-2021 13:29:22

bridgslam
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Sans doute les directives pédagogiques ont-elles considéré depuis quelques années que les graphes et les aspects d'optimisations présentaient un gros intérêt  économique: échanges commerciaux, ordonnancements d'actions,  réductions de coût etc, d'où la filière visée (term économique ).
De mémoire ils vont jusqu'aux graphes probabilistes et un peu de calcul matriciel associé pour trouver les situations stables en situations probabilistes.
Je me souviens effectivement aussi avoir été étonné, quand je suis tombé par hasard sur ces annales, que la matière soit abordée en filière économique et pas en filière maths...

Alain


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#9 04-03-2021 15:12:22

Chlore au quinoa
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Re : petit jeu mieux que le poker pour gagner à tous les coups

Calcul matriciel oui, mes amis de l'époque en ES en faisaient ! Et totalement d'accord sur l'application des graphes et l'optimisation, bien plus utile que la trigo pour eux selon moi !

Adam


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J. von Neumann

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