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#1 02-03-2021 23:12:32

Emiiiilieee
Invité

Polynomes

bonsoir à tous

voici un extrait d'un des exercices du site: "On commence par remarquer que les racines de P^2+1 sont nécessairement complexes, ce polynôme étant supérieur ou égal à 1 sur R."  avec P de degré n possédant n racines. Mon problème ici est que je n'arrive pas à trouver de preuve à cette affirmation.... (J'ai bien essayé avec de faibles degrés pour en être sûr, mais ce n'est pas suffisant pour généraliser)


Si quelqu'un passe par là et peut m'aider, je lui en serais reconnaissante!

Emilie

#2 03-03-2021 06:37:33

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Polynomes

Bonjour,

Si un polynôme est supérieur à $1$, c'est qu'il ne s'annule pas sur $\mathbb R$. Il n'a donc pas de racine réelle !

Roro.

Hors ligne

#3 04-03-2021 11:27:33

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 154

Re : Polynomes

Bonjour,

Il faut être précis sur le contexte: P est un polynôme à coefficients réels ? Sinon comparer à 1 des valeurs éventuellement  complexes n'a pas de sens...
Polynôme réel : on peut chercher ses zéros dans R ou C.
Idem si le polynôme est complexe.

Effectivement si [tex]P \in \mathbb{R}[X] [/tex] la fonction (réelle)  associée à [tex]P^2 + 1[/tex] est supérieure à 1 car un carré est positif dans R.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#4 04-03-2021 12:21:18

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Polynomes

Bonjour,

Totalement d'accord mais de mon point de vue, dès que Emiiiilieee évoque le terme "supérieur ou égal", c'est qu'on a à faire à des nombres réels (en tout cas, le polynôme est à coefficients réels)...

Roro.

Hors ligne

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