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#1 01-03-2021 12:35:13

Lapioche96
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DM Morphisme groupe

Bonjour, si quelqu’un peut m’aider avec des indications pour commencer ce dm. Merci


Soit p un nombre premier. Le but de ce devoir est de démontrer le théorème suivant
(T) Tout groupe abélien d’ordre divisible par p contient un sous-groupe d’ordre p.
Le cardinal d’un ensemble fini E est noté |E|.

1. Soit f : G → G′ un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau est noté K := {g ∈ G/f(g) = e′}.

(a) Démontrer que pour tout g′ dans G′, la pré-image
f^(−1)({g′}) := {g ∈ G / f(g) = g′}
est en bijection avec K.

(b) En déduire que si G et G′ sont finis, alors |G| = |K||G′|.
2. Dans ce qui suit, (G,+,0) désigne un groupe abélien fini, d’ordre n divisible par p. Démontrer que G admet un sous-groupe d’ordre p si et seulement si G contient un élément d’ordre divisible par p.

3. Démontrons le théorème (T) par l’absurde.

Supposons que G n’admet aucun sous-groupe d’ordre p et notons g1, ..., gn ses n éléments, d’ordres respectifs m1, ..., mn.
(a) Soit m le plus petit multiple commun de m1, ..., mn. Justifier que m est premier avec p.

(b) Démontrer que l’application f : (Z/mZ)^n → G définie par f([a1],··· ,[an]) := g1^a1 ···gn^an est un homomorphisme de groupes bien défini et surjectif.

(c) En déduire que n divise m^n et aboutir à une contradiction. Conclure.

Dernière modification par Lapioche96 (01-03-2021 12:36:25)

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#2 01-03-2021 13:50:51

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

Bonjour,

Je veux bien t'aider ou te donner des directions mais qu'as-tu fait jusque-là ?
Quelles avancées de ton côté ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 01-03-2021 14:13:58

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

pour 1- a par exemple tu peux poser g' = f( a ) puisque f est surjective, ensuite que donne f( g ) = f( a).
Cette relation doit te permettre de cerner les antécédents de g, puis de montrer qu'il est un translaté du noyau.

1-b les pré-images du 1-a forment une partition, finie puisque en bijection avec G' fini.
De plus toutes les classes sont finies comme parties de G fini, et d'après 1 -a possèdent toutes le même cardinal connu.
Donc...

2 - Dans un sens =>  si G contient un sous-groupe H d'ordre p ( premier) , n'importe quel élément non nul de H (non réduit à {0} puisque
p vaut au moins 2 ) est d'ordre p, qui est bien divisible par p.
Dans l'autre sens <= si x est d'ordre n = kp alors [tex]nx = (kp)x = p( kx) = 0[/tex] dont kx est d'ordre p, et gr ( kx ) ( sous-groupe engendré par kx)  est bien un sous-groupe de G d'ordre p.

Voilà c'est un début le reste est dans la même veine.

Alain


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#4 01-03-2021 14:49:12

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

pour le 3 - a  si tu réponds à ces questions annexes, ça va t'orienter dans la bonne direction...

- quel est l'ordre du produit [tex]g_1  g_2  .... g_n [/tex] . Attention ça marche car G est supposé commutatif...

- si p premier n'était pas premier avec  m , quelle relation existe entre p et m?  N'y a-t-il pas alors une contradiction?

3 - b Tu peux montrer que f est bien un morphisme de groupes en appliquant la définition.
       [tex]f( a_1 + b_1 ,  ....., a_n + b_n )  =  ...... = f(a_1, ..., a_n)  + f( b_1, ..., b_n) [/tex].
     Là encore la commutativité joue un rôle majeur.

     Pourquoi surjectif ?  : il est facile de trouver un antécédent très simple de [tex] g_i [/tex] ... avec plein de zéros...

3 - c  Il faut se remémorer le début de l'exo: le cardinal de l'ensemble d'arrivée divise celui de l'ensemble de départ.
        Appliqué à un produit cartésien, ça donne [tex] n \:divise\:  m^n  [/tex].

        Alors comme p divise n ( hypothèse de départ ) , tu dois aboutir à une contradiction manifeste....


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#5 01-03-2021 14:59:28

Lapioche96
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Re : DM Morphisme groupe

Merci beaucoup pour toutes vos explications. J’y vois plus claire maintenant!!

Dernière modification par Lapioche96 (01-03-2021 15:05:05)

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#6 01-03-2021 22:07:59

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

A partir de la question 3, si on veut être propre, il faut dire:
Par l'absurde, d'après une question précédente, P ne divisé aucun des [tex]m_i[/tex], et donc pas leur PPCM m non plus( ça se voit  soit en pensant aux décomp. en nombres premiers, soit par récurrence avec l'associativité du PPCM et le fait que si P premier divisé ab, il divisé a ou b. ).
Enfin pour la 4, il faut bien préciser que c'est déjà une application, car pour tout g , [tex]g^a[/tex] ne dépend que de la classe de a dans Z/mZ car [tex]g^m = e [/tex] pour tout g, m étant multiple de tous les ordres par définition de m. Le reste ( morphisme et surjectivité ) sont faciles à voir... Comme P divisé n, qui divise [tex]m^n[/tex]  selon la question 1, on arrive à P divisé [tex]m^n[/tex], donc P divise m, absurde d'après la question 3.
Donc l'hypothèse était fausse: il y a bien un ss-groupe d'ordre P...
Exo pas bien dur quand on est guidé, mais qui exige d'être clair et précis.
Bon courage
Alain


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#7 02-03-2021 05:50:32

Lapioche96
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Re : DM Morphisme groupe

Oui c’est plus facile maintenant!! Merci encore

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#8 02-03-2021 07:11:46

Fred
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Re : DM Morphisme groupe

Hello,

Je viens de jeter un coup d'oeil à l'énoncé de cet exercice (très intéressant!).
Les notations sont quand même étranges. Dans la question 2, on dit que le groupe va être noté additivement, et dans la question 3., il est noté multiplicativement. De même, j'aurais échangé G et G' dans la question 1 pour pouvoir l'appliquer directement à la question 3.

F.

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#9 02-03-2021 07:30:58

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

Bonjour,

Entièrement d'accord, très surprenant, peut-être pour inciter les étudiants à "jongler" avec
les deux notations... mais c'est tout-de-même source de confusion.
J'ai été d'ailleurs à cheval sur les deux notations dans un des messages (pour le morphisme),
on finit par s'y perdre...
Par-contre pour G et G' c'est moins perturbant, car sur un propriété générale sur des structures,
on peut appeler les choses comme on veut, et ici on ne peut pas confondre ensemble
de départ et d'arrivée, de toute façon.
Bon sujet, c'est vrai, qui immerge bien dans l'algèbre commutative, les morphismes,
les cardinalités...

Alain


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#10 02-03-2021 07:36:34

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

Sinon pour la question 1, c'est en filigrane le groupe-quotient de G par le noyau qui est derrière,
si on appelle un chat un chat.
L'énoncé s'intéressant seulement aux cardinalités, une preuve élémentaire style lemme des bergers, comme c'est suggéré
suffit ici, en zappant la structure quotient.

Alain


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#11 02-03-2021 15:09:03

Lapioche96
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Re : DM Morphisme groupe

A la question 3 , il s’agit d’une erreur de ma part.
l’application f : (Z/mZ)^n → G définie par

f([a1],···,[an]):=a1g1+···+angn

Dernière modification par Lapioche96 (02-03-2021 15:12:08)

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#12 02-03-2021 15:19:47

Chlore au quinoa
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Re : DM Morphisme groupe

Hey je m'incruste !

@bridgslam tu as l'air vraiment très calé en mathématiques d'après ce que je vois avec tes réponses sur le forum. J'ai une question pour toi justement sur le lemme des bergers : considères-tu que son application au principe des bergers (avec les images réciproques d'une bijection) est complètement évidente ou cela nécessite une démonstration ? Pour des gens de niveau bac +2/+3 environ.

Je me pose la question, et un avis extérieur est toujours bon à prendre...

edit : c'est évidemment pour la préparation d'un cours

Dernière modification par Chlore au quinoa (02-03-2021 15:21:05)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#13 03-03-2021 09:44:21

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

Bonjour Adam,

En fait je ne comprends pas tout à fait ta question.
Pour moi le lemme des bergers dit que si une application est surjective de E vers un ensemble fini F (disons de cardinal m ), et de plus que
les parties images réciproques de tout élément de F sont finies et de même cardinal n, alors :

- E est fini
- son cardinal est pn.

C'est le genre de propriétés sur les ensembles finis longues à prouver si on est puriste, mais immédiates intuitivement.

Dans le début du devoir de Lapioche, les images réciproques sont de la forme x + Ker f , tous équipotents , et le reste s'ensuit avec les autres hypothèses.

Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#14 04-03-2021 07:24:04

Chlore au quinoa
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Re : DM Morphisme groupe

Re,

Ah je connaissais ça sous le nom "principe des bergers".
Le lemme pour moi est "si un ensemble possède une partition de $n$ sous ensembles à $p$ éléments, alors il est de cardinal $np$".

Mais en y réfléchissant c'est quand même fichtrement équivalent et facile à voir.

Merci !


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#15 04-03-2021 08:07:36

bridgslam
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Re : DM Morphisme groupe

Bonjour,

Voir les choses comme une partition, ou les pré-images d'une surjection canonique, c'est pareil.
Deux façons de voir.
Une petite subtilité, la partition est plutôt vue comme une famille que comme un ensemble de parties,
puisqu'on les "numérote" selon leurs images...
Mais c'est du quif quif bourricot.
Mais la présentation des partitions varient suivant les bouquins quand-même:
par les familles de parties ( indexées donc ) , ou par un sous-ensemble de parties...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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