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#1 03-03-2021 14:14:37

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

exercice d arithmetique

bonjour
priere de m aider   à résoudre cette question

x y étant  des entiers naturels
montrer que  17|2x+3y   ssi  17|5x+9y

et merci
cordialement mrini

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#2 03-03-2021 15:51:49

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

Bonjour,

=>
17 divise alors la différence, donc 17 divise 3x + 6y, c'est-à-dire 3( x + 2y ).
Alors 17 ( premier) divise 3 ou x + 2y, donc forcément x + 2y.

Comme 17 divise 2x + 3y et x + 2y, il divise (2x + 3y ) + 3( x + 2y ) = 5x + 9y.

<=

C'est du même style et je te laisse terminer.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#3 03-03-2021 19:22:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : exercice d arithmetique

Bonjour,

  C'est faux, non? Si x=10 et y=-1, alors 17 divise 2x+3y=17, mais 17 ne divise pas 5x+9y=41....

F.

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#4 04-03-2021 00:02:14

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

Re : exercice d arithmetique

Bonjour
Merci Fred mais xet y sont des entiers naturels
pour votre participation  Alain vous avez supposé que 17 divise  2x+3y  et  17 divise 5x+9y  pour qu il divise la difference ce qui es faux
on veut montrer l equivalence    17|2x+3y   si  et seulement si  17|5x+9y
et merci

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#5 04-03-2021 00:10:14

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

Re : exercice d arithmetique

on remarque que   pour   x=1  et y=5   17|2x+3y mais  17 ne divise pas 5x+9y=50
don l enonce de l exercice  est faux

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#6 04-03-2021 08:53:49

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

Bonjour,

Fred , 41 = 3 x 17 ... sauf erreur

Alain


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#7 04-03-2021 08:55:02

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

Non excuses, au temps pour moi :-)

51, je dois réviser mes tables
haha.

Alain


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#8 04-03-2021 08:56:51

bridgslam
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Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

C'est vrai autant pour moi, je me suis mélangé les pinceaux, sans doute la tête ailleurs §

La propriété est fausse. Désolé.

Alain


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#9 04-03-2021 09:10:45

bridgslam
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Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

quoique,.... je m'y repenche dans la journée, promis,  que j'ai un petit créneau de temps.
Encore désolé pour l'erreur grossière.

Alain


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#10 04-03-2021 10:28:24

bridgslam
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Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

je pense que c'est plutôt ... ssi 17 | 6x + 9 y.
On procède par congruences.
L'inverse de 3 dans Z/17Z est 6 et celui de 2 est 9.

Je pense aussi qu'il y a une erreur dans ton énoncé.

Alain


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#11 04-03-2021 10:36:25

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

Ce qu'on voit aussi directement , soit en multipliant par 3 dans un sens, en factorisant dans l'autre et utilisant le fait que 17 est premier.

17 | 2x + 3y => 17 | 3( 2x + 3y )

si 17 | 6x + 9y , 17 | 3( 2x + 3y ) donc 17 | 2x + 3y .

Alain


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#12 04-03-2021 10:40:48

bridgslam
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Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : exercice d arithmetique

L'énoncé vient de qui et de quelle classe sans vouloir être indiscret ?

Une coquille a du se glisser à mon avis ( 5 au lieu de 6 )...
Cordialement,
Alain


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#13 04-03-2021 18:10:22

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

Re : exercice d arithmetique

bonjour
l exercice c est pour les eleves de premiere sc mathematique
je m excuse il ya une erreur  je l ai corrigé  l enoncé est le suivant
x y étant  des entiers naturels
montrer que  17|2x+3y   ssi  17|9x+5y
cordialement Mrini

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#14 04-03-2021 20:26:46

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

Re : exercice d arithmetique

bonjour
j ai trouvé une implication
17|2x+3y et 17|17x+17y donc 17|4(2x+3y) et 17|17x+17y d ou 17 divise la difference  cad 17|9x+5y
Mrini

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#15 05-03-2021 08:13:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : exercice d arithmetique

Bonjour,

  La réciproque se prouve presque de la même façon, mais avec un argument supplémentaire.
Si tu supposes que 17|9x+5y, alors tu dois pouvoir prouver (avec le même raisonnement que le tien) que 17|8x+12y c'est-à-dire 17|4(2x+3y). Pour conclure, il faut utiliser le théorème de Gauss...

F.

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#16 06-03-2021 14:52:52

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 21

Re : exercice d arithmetique

bonjour
merci Fred
j ai trouvé aussi cette solution
17|17(2x+y) et 17|9x+5y donc 17|3(9x+5y) et 17|17(2x+y) donc 17 divise la difference soit 17|7x+2y
17|9x+5y et 17|7x+2y  donc 17 divise la difference soit 17|2x+3y
mais la tienne est plus courte

MRINI

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