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#1 23-11-2018 12:20:31

capesman
Modérateur
Inscription : 15-08-2016
Messages : 152

PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques :  PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications


Capesman.

Hors ligne

#2 01-12-2020 10:35:07

Miss-MTL
Membre
Inscription : 30-09-2020
Messages : 1

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

Pour cette leçon je me demande comment trouver un exemple d’application pertinent du PPCM. Dans ma troisième partie réservée à des exemples d’applications, je n’aborde pour le moment que le PGCD avec son calcul (algorithme d’Euclide), la démonstration de critères de divisibilité et la résolution d’équation.

Merci pour votre aide.

Charlotte

Hors ligne

#3 02-12-2020 22:48:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,
 
  En 3ème, il y a des exercices faciles d'applications de la notion de PPCM, comme celui-ci :  On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24 cm et de largeur 15 cm. Quelle est la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe?

Attention! Le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide n'est pas une application de la notion de PGCD. C'est juste un algorithme pour le calculer.

F.

Hors ligne

#4 03-02-2021 22:37:19

Vibu
Invité

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

Trouvez vous pertinent le fait que je fasse ce plan pour cette leçon:


I.    PGCD (plus grand commun diviseur)
    1.    Définition et propriétés
    2.    Algorithme d’Euclide
II.    PPCM (plus petit commun multiple)
III.    PGCD et PPCM
IV.    Applications
    1.    Nombres premiers entre eux
    2.    Égalité de Bézout
    3.    Théorème de Gauss
    4.    Décomposition en facteurs premier et PGCD

Merci d'avance!

#5 04-02-2021 09:13:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

  Je ne suis pas sûr que présenter la partie IV avec pour titre "Applications" soit optimal.
En quoi ton point IV.4. est une application des notions de pgcd et de ppcm? Pour moi, c'est juste une autre méthode pour calculer le pgcd différente de celle de l'algorithme d'Euclide, mais pas une application.
Tes parties me semblent aussi déséquilibrées, la partie III étant très courte. Sans changer grand chose, ce serait mieux de faire
I. PGCD
II. PPCM (y compris lien entre pgcd et ppcm)
III. Nombres premiers entre eux (tout ce que tu as mis dans IV)
et de mettre des applications un peu partout.
Il y a des applications simples de la notion de pgcd ou de ppcm à des problèmes concrets, on peut appliquer ces notions (et le théorème de Bezout) pour résoudre des équations à valeurs dans Z, on peut prouver l'irrationalité de racine de 2....

F.

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#6 03-03-2021 15:18:57

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

Dans la partie PGCD , après Euclide, tu peux aussi rajouter ( mais c'est moins classique, par-contre formateur ) que le pgcd
de deux entiers naturels non nuls a et b est  aussi [tex]a + b - ab +2\sum_{k=1}^{b-1}\lfloor ka/b \rfloor [/tex].
Selon les goûts, voire informatiquement, on peut préférer à Euclide.

En ce qui concerne le ppcm, mentionner la propriété ( utile souvent dans les groupes) qu'un premier qui ne divise pas une suite finie d'entiers ne divise pas non plus leur PPCM,  me parait intéressant , la preuve sans passer par les décompositions en nombres premiers étant pédagogique.

Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#7 27-05-2021 15:36:30

Ikart
Membre
Inscription : 18-05-2021
Messages : 12

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, les notions de PGCD et PPCM ne sont plus abordées au collège avec le nouveau programme, et le PGCD n'est introduit qu'en Tle option Maths expert. Cependant je ne trouve rien sur la notion de PPCM sur le nouveau programme, cette leçon serait donc orienté études supérieures?

Cordialement,


Ikart

Hors ligne

#8 29-05-2021 21:27:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

  L'essentiel de ce qu'on peut faire sur le pgcd apparait quand même dans le programme de Maths Expertes. C'est avant tout une leçon sur le pgcd. Le ppcm est quand même moins important. Il faut savoir le définir, le calculer, savoir que $a\times b= \textrm{pgcd}(a,b)\times \textrm{ppcm}(a,b)$. Mais je pense que ce serait présomptueux de trop tourner cette leçon vers le supérieur et de parler par exemple d'idéaux.

F.

Hors ligne

#9 30-05-2021 12:42:17

Ikart
Membre
Inscription : 18-05-2021
Messages : 12

Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications

Bonjour,

Ok merci, ça m'aide à orienter ma leçon!

Cordialement,


Ikart

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