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#2 03-03-2021 11:54:35
- valoukanga
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- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Une base et une base canonique.
Bonjour !
En fait, la notion de base canonique n'a rien de nouveau par rapport à celle d'une base. Dans un espace vectoriel bien connu ($\mathbb R^n$, $\mathbb R_n[X]$ par exemple), on a une base "préférée", la plus simple en général, qu'on appelle la base canonique. Dans $\mathbb R^n$, c'est la base constituée des vecteurs unitaires, ...
Est-ce plus clair ?
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#3 03-03-2021 15:30:44
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 302
Re : Une base et une base canonique.
Bonjour,
Un objet sera canonique dans une structure si sa considération est intrinsèque à la structure, et explicite sans faire intervenir d'objets particularisés (bases, éléments particuliers ...) .
Par exemple parfois on montre un isomorphisme en le construisant à partir de bases données.
Et parfois on n'en a pas besoin, et c'est souvent le plus naturel ( et le plus simple en tant qu'expression). Par-contre plus abstrait.
Ainsi en dimension finie un espace vectoriel et son dual sont isomorphes au travers de bases particulières.
Avec son bidual, on a un isomorphisme canonique, indépendant de bases données à l'avance (en dimension finie) .
On retrouve d'ailleurs son caractère naturel et plus général en cas de dimension quelconque ( mais ce n'est plus bijectif, on perd l'isomorphisme en gardant quand-même la linéarité et l'injectivité, avec un cran d'abstraction ).
A la limite, ce genre de démarche peut s'effectuer sans même savoir que tout espace vectoriel admet une base ( avec l'axiome du choix) !
Bien-sûr cela ne se limite pas à l'algèbre linéaire, injection canonique, surjection canonique, forme canonique d'un trinôme, ....
Autre exemple modulo m entier, les restes de divisions euclidiennes sont des représentants canoniques des m classes...
Un autre bon exemple est dans le calcul tensoriel.
On envisage souvent les tenseurs en physique par l'intermédiaire des composantes, donc une fois des bases données, car c'est plus pratique, et surtout moins abstrait.
Il y a cependant une notion générale de tenseur constructible sans utiliser de base du tout, qui n'utilise que la structure d'espace vectoriel et des quotients bien choisis.
J'avoue que cette notion de "canonique" est néanmoins subtile et déstabilisante car elle "squelettise" le contenu d'une structure ( qui doit bien se baser sur quelque chose, par exemple des vecteurs et des scalaires pour un espace vectoriel , pour exister ) en ne s'exprimant que grâce à sa structure. Comme pour les tenseurs, on peut donc sortir quelque chose du néant, ou presque.
Un exemple plus familier: une silhouette existe bien sur un mur , elle n'a pas besoin des muscles, des os, de l'estomac, de la personne...
juste leur agencement, et rien ne dit d'ailleurs que ce n'est pas la silhouette d'un épouvantail à moineaux !!!
Justement la trace d'un endomorphisme, son polynôme caractéristique ( un genre de silhouettes généralisées ) se calculent au moyens de bases, mais en sont indépendantes intrinsèquement.
Pour l'application déterminant c'est presque pareil, mais il faut dire qu'il vaut 1 pour .... la base canonique.
Une sorte de canonisme à deux niveaux...
Avec tout ça je ne regarderai plus comme avant un canon en sifflotant dans la rue !
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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