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#1 28-02-2021 10:51:46

Lakhdar
Membre
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edp

Bonjour,

------------------------------------------
question montrer que  l'edp   $$u_{t}-\Delta u+f(u)=0$$$$u(x,t)=0,sur: \Gamma\times]0,T[$$$$u(x,0)=u_{0}(x),sur: \Omega$$ admet une solution unique $u\in L^{2}(0,T;H_{0}^{1}(\Omega))\bigcap L^{2p}(0,T;L^{2p}(\Omega)),\forall T>0$
par la méthode de Galerkin lorsque $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction du type
$f(u)= au+u^{3}$,
où $a$ est une constante réelle,$\Omega$ un ouvere borné dans $\mathbb{R^{n}} de, frontière, assez, régulière$,$u=u(t,x) :Q=\Omega\times]0,T[\rightarrow \mathbb{R}^{n}$

Dernière modification par yoshi (28-02-2021 12:17:11)

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#2 28-02-2021 19:19:18

Roro
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Re : edp

Bonsoir,

Qu'as-tu essayé pour répondre à cette question ?
En fait, ou est la difficulté ?

Roro.

Dernière modification par Roro (28-02-2021 19:19:49)

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#3 28-02-2021 21:31:05

Lakhdar
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Re : edp

Bonsoir Monsieur, oui j'ai répondre à cette question on a trois étape :$\\$a)pour l'existence $\\$1-considérons des solutions approché par la méthode de Galerkin  $\\$2- la recherche des estimation à priori $\\$3- passage à la  limite,  pas de pb j'ai démontrer l’existence$\\$ b)pour l'unicité j'ai un pb ? supposons qu'i existe deux solutions $u$ et $v$ alors$\\$ $u_{t}−\Delta u+f(u)=0$ $\\$et$\\$ $v_{t}−\Delta v+f(v)=0$ $\\$posons $w=u-v$ donc $\\$ $w_{t}−\Delta w+f(u)−f(v)=0$ $\\$on multiplie l'équation  par $w$ on obtient                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            $\\$$(w_{t},w)+(-\Delta w,w)+(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$  puisque $(w_{t},w)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|w\|^{2}$ $\\$ alors on multiplie par $2$ et on intègre entre $0$ et $t$ on obtient  $\\$ $\|w\|^{2}+\int_{0}^{t}(-\Delta w,w)+\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$ alors $\|w\|^{2}\leq0$  d'ou w=0$ c-à-d: $u=v$ $\\$ il, reste, à, justifie, la, positivité, de: $\int_{0}^{t}(-\Delta w,w)$et $\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)$

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#4 28-02-2021 21:33:18

Lakhdar
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Messages : 14

Re : edp

Bonsoir Monsieur, oui j'ai répondre à cette question on a trois étape :$\\$a)pour l'existence $\\$1-considérons des solutions approché par la méthode de Galerkin  $\\$2- la recherche des estimation à priori $\\$3- passage à la  limite,  pas de pb j'ai démontrer l’existence$\\$ b)pour l'unicité j'ai un pb ? supposons qu'i existe deux solutions $u$ et $v$ alors$\\$ $u_{t}−\Delta u+f(u)=0$ $\\$et$\\$ $v_{t}−\Delta v+f(v)=0$ $\\$posons $w=u-v$ donc $\\$ $w_{t}−\Delta w+f(u)−f(v)=0$ $\\$on multiplie l'équation  par $w$ on obtient                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            $\\$$(w_{t},w)+(-\Delta w,w)+(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$  puisque $(w_{t},w)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|w\|^{2}$ $\\$ alors on multiplie par $2$ et on intègre entre $0$ et $t$ on obtient  $\\$ $\|w\|^{2}+\int_{0}^{t}(-\Delta w,w)+\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$ alors $\|w\|^{2}\leq0$  d'ou w=0$ c-à-d: $u=v$ $\\$ il, reste, à, justifie, la, positivité, de: $ \int_{0}^{t} (-\Delta w,w)$et $\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)$

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#5 28-02-2021 21:47:56

Roro
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Messages : 1 059

Re : edp

Re-bonsoir,

Pour la positivité. de $\displaystyle (-\Delta u,u)$, tu peux utiliser la formule de Stokes (intégration par parties).

Pour la positivité de  $\displaystyle (f(v)-f(u),v-u)$, tu peux utiliser la croissance de $f$.

Roro.

Dernière modification par Roro (28-02-2021 21:48:49)

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#6 01-03-2021 20:46:47

Lakhdar
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Messages : 14

Re : edp

Bonsoir Monsieur, je vous remercie infiniment de votre attention.

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