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#1 28-02-2021 17:21:35

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

On considère la matrice [tex]A=\bigl(\begin{smallmatrix} 5&1 &-2 \\ -2&2 &4 \\ 1&1 &2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

1) Calculer le polynôme caractéristique de A : [tex]P_{A}(x)=det(A-x*I_{3})[/tex]

J'ai calculé le déterminant et je trouve : [tex]-x^{3}+9x^{2}-24x+16[/tex]

2) Factoriser [tex]P_{A}(x)[/tex] et en déduire toutes les valeurs propres de A et leurs multiplicités.

Pour factoriser ce polynôme, j'ai tout d'abord cherché une racine évidente, mais je n'ai rien trouvé ... Ensuite, j'ai essayé de factoriser comme ceci : [tex]x^{2}(-x-9)-16(2x+1)[/tex]. Mais je ne trouve pas de facteurs communs. Est-ce quelqu'un a une idée ? (Sûrement :) )

Pour les questions suivantes, je verrai donc après

3) Calculer les sous-espaces propres associés à chacune des valeurs propres et en donner une base.

4) Justifier que la matrice A est diagonalisable.

5) Calculer les matrices P et D de la diagonalisation de A.

6) Vérifier les relations [tex]A=P*D*P^{-1}[/tex] et [tex]D=P^{-1}*A*P[/tex]

Dernière modification par Lili066 (28-02-2021 17:55:13)

Hors ligne

#2 28-02-2021 17:31:31

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 173

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Bonjour,
il a de fortes chances que tu aies fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique.. du style erreur de signe

Hors ligne

#3 28-02-2021 17:31:58

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 286

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Hey !

Pas de racine évidente en es-tu sûre ? J'en ai pourtant une plutôt très simple... Allez je t'aide elle appartient à $[-2,2]$

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Hors ligne

#4 28-02-2021 17:56:43

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Ah ... Je suis bête il y avait un + et pas un - pour le coefficient 9 ... Je trouve donc 1 pour une racine ... Merci :) Je vais chercher les autres questions

Hors ligne

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