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#1 28-02-2021 18:21:35

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

On considère la matrice [tex]A=\bigl(\begin{smallmatrix} 5&1 &-2 \\ -2&2 &4 \\ 1&1 &2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

1) Calculer le polynôme caractéristique de A : [tex]P_{A}(x)=det(A-x*I_{3})[/tex]

J'ai calculé le déterminant et je trouve : [tex]-x^{3}+9x^{2}-24x+16[/tex]

2) Factoriser [tex]P_{A}(x)[/tex] et en déduire toutes les valeurs propres de A et leurs multiplicités.

Pour factoriser ce polynôme, j'ai tout d'abord cherché une racine évidente, mais je n'ai rien trouvé ... Ensuite, j'ai essayé de factoriser comme ceci : [tex]x^{2}(-x-9)-16(2x+1)[/tex]. Mais je ne trouve pas de facteurs communs. Est-ce quelqu'un a une idée ? (Sûrement :) )

Pour les questions suivantes, je verrai donc après

3) Calculer les sous-espaces propres associés à chacune des valeurs propres et en donner une base.

4) Justifier que la matrice A est diagonalisable.

5) Calculer les matrices P et D de la diagonalisation de A.

6) Vérifier les relations [tex]A=P*D*P^{-1}[/tex] et [tex]D=P^{-1}*A*P[/tex]

Dernière modification par Lili066 (28-02-2021 18:55:13)

Hors ligne

#2 28-02-2021 18:31:31

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Bonjour,
il a de fortes chances que tu aies fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique.. du style erreur de signe


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#3 28-02-2021 18:31:58

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 305

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Hey !

Pas de racine évidente en es-tu sûre ? J'en ai pourtant une plutôt très simple... Allez je t'aide elle appartient à $[-2,2]$

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Hors ligne

#4 28-02-2021 18:56:43

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Re : Diagonalisation / Valeurs propres matrices

Ah ... Je suis bête il y avait un + et pas un - pour le coefficient 9 ... Je trouve donc 1 pour une racine ... Merci :) Je vais chercher les autres questions

Hors ligne

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