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#1 22-02-2021 17:08:47

antoinnne
Invité

Développement de Taylor d'une integrale

Bonjour à tous, je rencontre quelques difficultés à trouver le développement de Taylor de cette fonction lorsque x tend vers l'infini:

[tex]f(x) = \int_{-cos^{-1}(1/x)}^{cos^{-1}(1/x)}\frac{(xcos(\phi )-1)^{3}}{(x-1)(1+x^{2}-2xcos(\phi ))^{3/2}}d\phi [/tex]

J'ai pensé a developper la fonction dans l'intégrale ainsi que les bornes ce qui donne:

[tex]f(x)=\int_{\frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}-\frac{1}{x}}\frac{cos(\phi )^{3}}{x-1}d\phi[/tex]

puis en negligeant les termes en [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] on obtient

[tex]f(x)=\frac{4}{3(x-1)}[/tex]

a question est est-ce correcte? Est-ce la bonne façon de faire de developper l'intérieur de l'integrale puis les bornes?

Merci bcp!

#2 23-02-2021 18:57:42

antoinnne
Invité

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Personne?? c'est un forum de math?

#3 23-02-2021 21:21:40

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonsoir,

antoinnne a écrit :

Personne?? c'est un forum de math?

Je pense que c'es un forum de math. Tu n'as pas regardé avant ?

Pour répondre à ton problème, je dirais que lorsque tu as une expression de la forme $\displaystyle f(x) = \int_0^{a(x)} g(x,s)\, \mathrm ds$ alors tu peux l'écrire $f(x) = G(a(x),x)$ où tu as posé

$$G(t,x) = \int_0^t g(x,s)\, \mathrm ds.$$

Il suffit ensuite de faire un développement de $f$ comme une fonction composée (par exemple avec la formule de Taylor ?).

Roro.

Hors ligne

#4 25-02-2021 17:19:37

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonjour,

Pas de retour ??? alors que sur un forum en général on essaie de discuter :

antoinnne a écrit :

Personne?? c'est un forum de math?

Est ce que la réponse apportée t'a permis de comprendre comment procéder ?

Roro.

Hors ligne

#5 26-02-2021 21:59:29

antoinnne
Invité

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonjour,

merci pour ta réponse, ce que tu 'as dis ne m'aide pas beaucoup car vous restez très général, obtenez vous  le même résultat que moi ?

Merci beaucoup

#6 26-02-2021 23:02:03

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonsoir,

J'ai effectivement donné un résultat général et je n'ai pas fait le calcul... donc je ne sais pas !

Il faut remplacer, dériver, etc. en utilisant tes fonctions.

Roro.

Hors ligne

#7 27-02-2021 18:58:21

antoinnne
Invité

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonsoir,

Merci j'ai compris votre raisonnement, mais j'aurais du formuler ma question de façon plus pratique:

Soit T(f(x)) le développement de Taylor de f(x). A t-on l'égalité suivante?

[tex]T\left [\int_{a(x)}^{b(x)}g(x,s)ds  \right ]= T\left [\int_{T\left [a(x)  \right ]}^{T\left [b(x)  \right ]}T\left [g(x,s)  \right ]ds  \right ][/tex]

C'est ce que j'ai appliqué dans mon premier message et j'aurai voulu que vous esseyâtes le calcul pur infirmer/confirmer cette equation ci-dessus.

merci

#8 27-02-2021 21:07:18

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Développement de Taylor d'une integrale

Bonsoir,

J'ai fait les calculs et je suis d'accord avec ton résultat : je trouve que $\displaystyle f(x)\sim \frac{4}{3x}$ au voisinage de $+\infty$.

La dernière formule que tu indiques avec la notation $T(f(x))$ n'a pas vraiment de sens car il faudrait dire à quelle ordre tu fais le développement et je ne sais pas trop écrire par exemple
$$\displaystyle \int_0^{o_{+\infty}(1/x)}... \qquad ???$$

En fait, l'idée que tu peux retenir de ce que j'ai dit avant c'est que tu peux toujours utiliser la formule de Taylor pour calculer un développement limité, et que ta fonction $f$, bien que compliquée n'est rien d'autre qu'une fonction d'une variable. Tu peux donc toujours faire :
$$f(y)=f(0)+yf'(0)+o_{0}(y)$$
au voisinage de $y=0$ (par exemple en posant $y=1/x$ dans ton cas).

Roro.

Hors ligne

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